우리 스스로 수학 지능을 구축하는 즐거움 직관과 상상력이 만드는 비밀스러운 수학의 세계 수학의 즐거움은 수학자 같은 소수의 천재들만 누리는 걸까? 수학이 선사하는 변화의 기쁨은 수학적 재능을 타고난 사람들만 경험하는 걸까? 이 책은 단호하게 아니라고 말하며 수학이 어렵다는 편견, 수학적 천재성에 대한 신화를 단번에 깨뜨린다. 프랑스 명문대에서 순수수학으로 박사학위를 받고 수학을 연구하고 가르쳐온 저자는 어렸을 때부터 직접 경험한 자신의 수학 이야기를 들려주며 이 세상에 존재하는 두 가지 수학을 비교한다. 하나는 교과서에 나오는 공식 수학(official math)이고, 또 하나는 직관과 상상력이 작용하는 비공식 수학(secret math)이다. 전자의 경우 수학을 싫어하게 되고, 후자의 경우 인지 능력이 확장된다고 하며 저자는 이렇게 힘주어 말한다. “진짜 수학은 우리 주변 세계에 대한 직관을 넓혀주는 비공식 수학이다.” 이 책에는 르네 데카르트부터 알렉산더 그로텐디크, 윌리엄 서스턴, 아인슈타인 등에 이르는 걸출한 수학자들이 등장한다. 그들이 어떻게 수학을 느끼고 이해했는지를 보면 그들의 수학과 우리의 수학이 다르다는 것을 알 수 있다. 보이지 않는 것을 보고, 느낄 수 없는 것을 느끼고, 터무니없이 추상적인 것을 완전히 자명해질 만큼 깨닫는 생각의 기술이야말로 수학자들의 진정한 비결이다. 하지만 어떻게? 이런 기술은 학교에서는 가르쳐주지 않는다. 이것이 바로 이 책이 전하고 싶은 이야기다. 수학적 재능을 타고난 것 같은 수학자들처럼 우리도 수학 지능을 스스로 구축할 수 있다. 한 인터뷰에서 저자는 이 책을 수학 자기계발서라고 소개하기도 했다. 그만큼 스스로 수학을 못한다고 생각하는 사람들에게 마음껏 수학을 즐길 수 있는 실질적인 방법과 방향을 제시해주고자 했다. 어려운 공식, 어려운 서술 하나 없는 가장 쉬운 언어로써 베일에 가려져 있던 새로운 수학의 세계로 우리를 안내한다. 이 책은 잊고 있었던 진짜 수학에 유쾌하게 빠져들고 기존 수학에 대한 심리적 장벽을 거뜬히 물리칠 절호의 기회를 선사할 것이다.

01 세 가지 비밀 02 숟가락의 올바른 쪽 03 생각의 힘 04 진짜 마법 05 보이지 않는 동작 06 수학책은 읽는 게 아니야 07 어린아이처럼 08 촉각 이론 09 여기서 뭔가 일어나고 있다 10 보는 기술 11 공과 방망이 12 요령은 없다 13 바보처럼 보이기 14 무술 15 경외감과 마법 16 극도의 명확성 17 우주를 통제한다는 것 18 방 안의 코끼리 19 추상적이고 모호한 세계 20 수학적 깨달음 에필로그 참고 자료 및 읽을거리 감사의 글

수학자들은 서로 다른 두 종류의 수학이 존재한다는 사실을 인정한다. 공식 수학(official math)은 교과서에서 찾아볼 수 있다. 교과서에서는 알쏭달쏭한 기호로 나타내는 복잡한 언어, 논리적이고 구조화된 방식으로 수학을 설명한다. 하지만 수학적 직관이라고 일컫는 비공식 수학(secret math)은 수학자들의 머릿속에서 찾을 수 있다. 수학자들은 정신적 표상이나 추상적 감각, 보통은 시각적 감각으로 이루어진 비공식 수학을 통해 매우 확실하고 커다란 즐거움을 만끽한다. 그러나 이런 감각을 세상 사람들과 공유할 때마다 그들은 종종 당혹스러움을 느낀다. 수학자들에게는 너무나 분명해 보였던 사실이 갑자기 덜 분명해 보이기 때문이다. _01 세 가지 비밀

사람들이 수학을 잘하지 못하는 이유는 시간을 들여 명확한 지침을 내린 사람이 없었기 때문이다. 아무도 수학이 신체 활동이라고 말해주지 않았고, 수학에서 배울 것이 있는 게 아니라 해야 할 것이 있다고 알려주지 않아서다. 숟가락의 올바른 쪽이 있다는 걸 아무도 말해주지 않았기 때문에 잘못된 쪽을 잡고 허우적대는 것이다. _02 숟가락의 올바른 쪽

학교에서 직관을 경계하라고 가르칠 때, 지적 성장을 방해하는 두 가지 큰 실수가 뒤따른다. 첫 번째 실수는 상황을 과장하는 것이다. 별것도 아닌 일에 괜히 화나게 한다. 물론 가끔은 직관이 틀리기도 하지만 항상 그렇지는 않다. 오히려 종종 맞을 때도 있다. 그리고 직관이 더 자주 맞도록 할 수도 있다. 꾸준히 훈련하면 더 분명하고 뚜렷한 직관을 갖출 수 있다. 수학자들은 우리와 같은 지점에서 출발해 강력하고 믿을 수 있는 직관을 구축한다. 그들은 이 책에서 가르치는 것과 같은 간단한 방법을 사용해 직관에 도달한다. _03 생각의 힘

수학을 배운다는 것은 논리적 형식주의로 정의된 ‘빈 껍데기’ 단어를 마치 평범한 단어처럼 사용하는 방법을 배우는 것이다. 그런 단어들에 직관적이고 구체적인 의미를 부여하는 방법을 배우는 것이며, 단어가 가리키는 대상을 마치 눈앞에 있는 것처럼 보는 법을 배우는 것이다. _06 수학책은 읽는 게 아니야

‘잘 모르겠다’고 수줍게 속삭이는 그 작은 목소리가 바로 수학적 직관이다. ‘넌 멍청해’라고 시끄럽게 떠드는 목소리와 혼동하지 마라. _09 여기서 뭔가 일어나고 있다

서스턴은 3차원적 인식에 접근할 수 없었다. 그래서 사고의 힘을 통해 자기만의 방식으로 3차원적 인식을 구축하려 노력했다. 서스턴에게 재능이 있었다면 그건 인내와 결단력이다. 아니면 기하학을 향한 사랑과 자신감일 수도 있다. 수학을 한다는 건 번개 같은 통찰과 천재적인 발상의 연속이 아니다. 동일한 상상을 꾸준히 반복하는 재교육 작업이다. _10 보는 기술

목표는 어디서 잘못되고 있는지 이해하는 것이다. 내 직관과 논리가 같은 언어를 사용하고 있을까? 둘이 같은 주제를 이야기하고는 있나? 내 직관은 절대 완벽하지 않다. 대개 적절할 때가 많지만, 그냥 엉터리일 때도 있다. 하지만 다행히도 직관은 수정할 수 있다. 반면 논리는 틀리지 않는다. 적어도 공식적으로는 그렇다. 다만 논리는 내가 생각하는 바를 정확히 말해주는 건 아니다. 결국 거의 항상 이기는 쪽은 내 직관이다. 논리의 말에 귀 기울이도록 강요하면, 직관은 묵묵히 받아들이며 자기 입장을 조정한다. 논리는 조약돌처럼 움직이지 않는다. 그러나 내 직관은 유기적이며 살아 숨 쉬고 성장한다. _11 공과 방망이

이런 내적 탐구가 수학의 핵심이다. 내적 탐구란 생각 없이 사용하는 정신적 표상을 해체하고 어디서 그 표상을 개선할 수 있는지 파악하는 것이다. 이 과정을 제대로 실천하면 직관은 날마다 더 강해질 것이다. _12 요령은 없다

시점을 바꾸는 연습을 해보고 싶다면, 다음과 같은 방법이 효과적일 것이다. ① 주변에서 임의의 기준점을 하나 정한다. 예를 들어 방 안이라면 맞은편 구석, 길을 걷고 있다면 어느 집의 창문 같은 곳이 될 수 있다. ② 그 기준점에서 내가 있는 쪽을 바라본다면 무엇이 보일지 상상한다. (…) 이 연습의 목표는 그 이미지를 점점 더 또렷하고 선명하게 만드는 동시에, 가능한 한 오래 머릿속에 유지하는 것이다. _16 극도의 명확성

내가 수학자가 되지 않았다면 나 역시 수학자들이 우주의 언어를 자유자재로 구사하는 특별한 존재라고 믿었을지도 모른다. 하지만 이제는 그게 사실이 아니라는 걸 안다. 내가 어디서 시작했고, 어떻게 실력이 늘었는지 직접 경험했기 때문이다. 내가 한 단계씩 성장할 수 있었던 건 언제나 우연히 새로운 기법을 발견해 내 안의 장벽을 넘거나 상상력을 더 효과적으로 활용하는 방법을 알게 되었기 때문이다. _20 수학적 깨달음

아마존 수학 베스트셀러 전 세계 10개 언어 판권 계약 유명 수학자 다수 추천 “이 책을 읽으면서 많은 독자의 수학 치유가 이루어지길 바란다.” - 《수학이 필요한 순간》 저자 김민형 교수 “수학이 천재들의 전유물이라고?” 편견과 심리적 장벽을 넘어 수학의 본질을 새롭게 알게 해주는 책 아인슈타인은 조언을 구하는 고등학생에게 이렇게 말했다고 한다. “수학이 어렵다는 걱정은 하지 마. 장담컨대 수학은 내가 훨씬 더 어렵거든.” 400년 전 당대 최고의 수학자였던 르네 데카르트는 자전적 저서 《방법서설》에 이렇게 요약되는 글을 썼다고 한다. “내가 남들보다 더 똑똑한 게 아니다. 그저 남보다 더 나은 사람이 될 수 있는 마법 같은 방법을 발견할 기회가 있었을 뿐이다.” 믿어지는가? 어쩌면 누구보다 똑똑하다고 평가받았던 이 두 사람이 우리를 놀리는 건 아닐까? 이 책 《수학을 못한다는 착각》을 쓴 프랑스 수학자 다비드 베시는 이들의 말을 이해하려면 우선 수학에 대한 세 가지 잘못된 믿음을 버려야 한다고 말한다. 첫째, 수학을 하려면 논리적 사고가 필요하다는 믿음. 둘째, 우리 중 일부만 선천적으로 숫자가 쉽거나 기하학적 직관에 뛰어나다는 믿음. 셋째, 위대한 수학자들은 우리와 완전히 다른 뇌를 장착하고 태어난다는 믿음. 그리고 이에 대해 저자는 이렇게 반박한다. 사실 수학자들은 논리적으로 생각하지 않으며, 그들의 능력은 논리가 아니라 직관이고, 그 직관은 누구나 자연스럽게 부여받은 능력이라고. ‘수포자’라는 말이 아무렇지 않게 쓰이고 입시 준비에만 치우쳐 수학 지능을 판단하는 요즘, 이 책은 수학적 재능이 절대로 천재들만 타고나는 것이 아니며 진짜 수학 또한 다른 곳에 있다고 말한다. 그리고 우리가 가진 생각의 힘을 조금만 키우면 수학을 쉽게 즐길 수 있다고 조언한다. 저자는 우리가 학교에 들어가기 전에 경험했던 수학을 떠올려보자고 한다. 처음 부모님과 했던 모양 맞추기 놀이 같은 것을 예로 들며 수학적 사고가 어떻게 이루어졌는지, 그 과정에서 우리가 어떻게 생각의 기술을 길러냈는지 말이다. 특히 수학에서는 논리와 암기 대신 직관과 상상력, 호기심 등이 더 크게 작용한다는 사실을 보여준다. 이 책은 우리 교육이 만든 편견에 가려진 수학의 매력을 저자 자신의 경험담과 위대한 수학자들의 이야기를 버무려 재미있고 친절하게 서술한다. 아마존의 한 독자는 이 책을 고등학교 때 읽었더라면 좋았을 거라고 아쉬움을 표하기도 했다. 우리 스스로 세운 수학에 대한 심리적 장벽을 무너뜨려주는 이 책을 통해 수학의 본질을 새롭게 깨우치고 진짜 수학에 흠뻑 빠져드는 시간을 누리길 바란다. 논리와 교과서의 ‘공식 수학’에서 직관과 상상력의 ‘비공식 수학’으로! 위대한 수학자들이 느끼고 이해하는 진짜 수학에 관하여 “진짜 수학은 우리 주변 세계에 대한 직관을 넓혀주는 비공식 수학이다.”(342쪽) 저자에 따르면 이 세상엔 두 가지 수학이 있다. 교과서에 나오는 공식 수학과 수학적 직관이라고 일컫는 비공식 수학. 수학자라면 서로 다른 두 종류의 수학이 존재한다는 사실을 인정할 것이다. 그리고 그들은 정신적 표상이나 추상적 감각, 시각적 감각으로 이루어진 비공식 수학을 통해 커다란 즐거움을 만끽한다. 아인슈타인은 자신의 발견을 두고 직관의 중요성을 즐겨 이야기했다. 대체로 수학 하면 우리는 논리적 사고와 공식 암기를 떠올리지만, 이 책은 진짜 수학이란 주로 직관, 상상력, 호기심으로 이루어진다고 강조한다. 그래서 저자는 수학은 무엇보다 내면의 도구라고 말한다. 연구 논문을 읽을 때 ‘행간의 생각’에 집중한다고 말한 윌리엄 서스턴, 연구자의 창의성과 상상력은 ‘사물의 목소리에 귀 기울이는 주의력’에서 비롯된다고 말한 알렉산더 그로텐디크, 모든 것을 자기 머릿속에서 재구성하는 걸 좋아했던 르네 데카르트. 수학자들은 공식 수학만으로는 모든 이야기를 다 담아낼 수 없다는 걸 잘 안다. 수학자들에게 직관은 어떤 공적 결과물보다 훨씬 더 중요한 것이다. 그래서 그들이 매일 하는 일은 직관을 더 풍부하게, 더 명확하게, 더 강력하게 키우는 것이다. 이 책을 따라가다 보면 수학자들이 어떤 방식으로 수학을 다루었는지 알 수 있고 그 생각의 기술은 우리와도 무관하지 않음을 알게 된다. 수학을 이해하고 싶은 사람에게 전하는 이 책의 핵심 조언 “그 대상이 정말로 눈앞에 있는 것처럼 상상하라” “수학의 진정한 즐거움은 어느 날 아침 문득 이전에는 볼 수 없었던 별이 머릿속에 보인다는 사실을 깨닫는 것이다.”(121쪽) 오래도록 저자는 자신의 머릿속 ‘보이지 않는 동작’과 수학을 잘하는 것 사이의 관계를 잘 알지 못했다고 말한다. 그 동작은 그저 자신이 익혀온 습관, 즉 상상력을 사용하는 방법일 뿐이었기 때문이다. 예를 들면 눈을 감고 방 안을 돌아다니며 가구의 배치를 기억하는 놀이 같은 것이었다. 그래서 저자는 수학에 필요한 ‘보는 법’에 관한 이야기를 풀어낸다. 저자는 우리가 이미 견고한 수학적 직관을 쌓아왔으며 천재들의 전유물로 여겨졌던 수학적 발상을 완벽하게 흡수했다고 말한다. 몇 가지 생각의 힘, 즉 놀라운 추상화 능력, 굉장한 추론 능력, 대단한 직관, 사물을 상상하는 능력 등을 언급하며 수학을 잘하는 데 필요한 모든 지적 능력은 누구나 갖추고 있다는 것이다. 특히 상상력을 올바르게 발휘하면 수학적 개념을 직관적으로 이해하고 익숙하게 받아들일 능력이 생기며, 자연스럽게 스며든 그 개념은 우리 몸의 일부처럼 활용된다고 말한다. 그러면서 누구에게나 세상을 바라보고 생각하는 방식을 끊임없이 수정하고 매일 자신만의 지능을 구축할 자유가 있다고 믿는다. 또 위대한 발견자들은 뭔가를 분명히 알 때까지 올바른 정신적 이미지, 올바른 시각화 방법을 계속 찾는다는 사실을 알려준다. 뭔가를 명확하게 보려면 가능한 정신적 표상을 먼저 구축해야 큰 노력 없이 곧바로 이해할 수 있다. 너무 쉬운 예지만, 우리가 ‘원’이라는 것에 대한 충분한 정신적 표상을 구축한 것처럼 말이다. 다만 그 표상을 구축하는 데는 생각보다 오랜 시간이 들 수 있고, 불확실성과 시행착오, 처음부터 다시 시작해야 하는 문제를 극복하는 노력이 필요하다. 하지만 진정한 수학적 이해란 바로 이런 과정일 것이다. 공식적 정의를 그저 암기하는 게 아니라 올바른 정신적 표상을 스스로 만들어 그 정의를 직관적인 것으로 바꾸고, 그 정의가 실제로 말하는 바를 직접 ‘체감’하는 것. 그래서 그로텐디크는 머릿속에서 올바른 그림을 그리지 못하면 가장 간단한 수학책도 읽을 수 없다고 말했다. 요컨대 수학을 배운다는 것은 ‘보는 법’을 배우는 것이다. 그동안 수학을 못한다고 착각하고 움츠러들었다면, 이제는 수학에 필요한 이런 생각의 힘을 쌓는 일에 집중해보자. 저자는 생각의 힘을 잘 이용할 수 있다면 안심하라고 다독인다. 수학을 아주 잘할 수 있는 유전적 잠재력과 지적 능력이 있다는 뜻이기 때문이다. 그리고 생물학적 관점에서 볼 때 필요한 건 이뿐이고, 나머지 요소들은 유전적인 것이 아닌 그저 마음가짐에 달려 있다고 말한다. 성실과 인내, 열망, 용기 등등 말이다. “수학은 배우는 게 아니라 경험하는 것” 수학을 할 때 벌어지는 경이롭고 환상적인 내적 여정 “나는 우리가 받는 교육에 근본적으로 다른 두 가지 방식이 있으며, 그 두 접근법은 서로 양립할 수 없다는 사실을 깨달았다.”(134쪽) 이 책에서 언급하는 ‘좋은’ 수학 선생님과 ‘나쁜’ 수학 선생님의 차이를 들어보자. 저자는 수학을 못하는 사람들은 자신이 원래 열등하다고 확신하며 너무 위축되어 있어서 정말 단순한 질문을 하는 것조차 주저한다고 말한다. 그러면서 형식적 공식을 알아야만 수학을 잘할 수 있다는 환상을 심어주는 선생님들도 여기에 책임이 있다고 이야기한다. 토스터를 조립하는 문제를 예를 들어보자. ‘나쁜’ 선생님은 토스터를 조립하는 198가지 단계를 읊조리며 그게 끝인 것처럼 여긴다. ‘좋은’ 선생님은 토스터가 무엇인지 설명하려고 최선을 다한다. 그리고 끊임없이 학생들의 눈을 바라본다. 학생들의 눈빛을 보면 토스터를 이해했는지 아닌지 알 수 있기 때문이다. 빵이 뭔지도 모르는 사람에게 토스터를 조립하는 198가지 단계를 강요하는 건 그야말로 가혹한 짓이라고 저자는 지적한다. 수학을 지식으로 대하는 것과 하나의 감각적 경험으로 받아들이는 것은 정반대의 사고방식을 요구한다. 저자는 수학을 지식으로 대한다면 수학을 이해하는 즐거움을 포기한다는 의미라고 말한다. 수학을 이해하는 과정에서 작용하는 직관, 상상력, 호기심, 인내심 등이 만들어내는 경이롭고 환상적인 내적 여정을 경험하지 못한다면 수학은 우리에게서 영원히 멀어질 것이다. 저자는 또한 수학적 창의성을 위해 ‘어린아이처럼’ 사고하고, ‘바보처럼’ 보이면서, 두려움에 맞서고, 틀리기를 기꺼이 즐기라는 조언도 덧붙인다. 이처럼 이 책은 수학을 배우는 것이 아니라 경험하는 것이라고 강조한다. 우리보다 먼저 수학의 매력에 빠진 이 시대 수학자들이 이 책에 공감하며 기꺼이 추천한 이유일 것이다.