수학 공부, 무엇부터 시작해야 할까? 초중고의 모든 수학 개념부터! 학교에서 못 배운 깊고 넓은 수학 강의 최근 수학을 취미로 삼는 성인들이 눈에 띄게 늘고 있다. 복잡한 이해관계가 얽힌 사회생활에 피로를 느끼는 어른들이 논리적인 수학의 세계에서 새로운 재미와 위안을 발견하고 있는 것이다. 지적인 유희를 위해서든 실질적인 필요 때문이든, 수학 공부를 다시 시작하고 싶은 성인들에게 가장 좋은 출발점은 학교에 다녔다면 누구나 배운 기억이 있는 ‘학교 수학’일 것이다. 이번에 출간된 《다시 보는 초중고 수학》은 교육과정의 흐름을 따라 독자들이 수학의 본질에 다가갈 수 있도록 돕는다. 총 3부 구성으로, 1부에서는 초등학교부터 중학교 과정을 아우르고, 2~3부에서는 고등학교 과정을 다룬다. 특히 3부에서는 ‘2022 개정 교육과정’의 신설 과목들인 ‘경제 수학’과 ‘인공지능 수학’을 발 빠르게 담아냈다. 수학이라는 체계 안에서 교육과정 전체를 한 권으로 정리할 수 있어, 수학의 본질을 깊이 탐구하고 싶은 일반인뿐 아니라 현직 교사·강사·학부모·대학생·대입 수험생에게도 훌륭한 길잡이다. 저자의 전매특허인 ‘수학 유머툰’ 57편이 본문 곳곳에 수록되어 자칫 어렵게 느껴질 수 있는 수학적 개념들 사이에서 완급 조절 역할을 한다. 1세대 스타 웹툰 작가 ‘워니’의 감각적인 그림과 유머로 재탄생한 만화들은, 독자들에게 유쾌한 휴식처가 되어주면서 소소한 웃음을 자아낸다.

머리말 한눈에 보는 초등학교, 중학교 수학의 지도 1부 기초수학: 초등학교~중학교 과정 1장 수와 연산 1 자연수와 정수 / 2 수의 표현 / 3 여러 가지 수 / 4 유리수와 실수 / 5 단항연산 / 6 이항연산 2장 변화와 관계 1 비와 비례식 / 2 다항식 / 3 등식 / 4 부등식 / 5 함수의 변천사 / 6 일차함수와 이차함수 / 7 함수와 방정식, 부등식 / *황금비 3장 도형과 측정 1 점, 선, 면, 각 / 2 삼각형 / 3 원 / 4 국제단위계(SI) / 5 평면도형 / 6 입체도형 / *작도 4장 자료와 가능성 1 경우의 수와 확률 / 2 자료의 정리 / 3 통계 한눈에 보는 고등학교 수학의 지도 166 2부 순수수학: 고등학교 과정 5장 기초론 1 집합 / 2 명제 / 3 증명 / 4 수열 / *페아노 공리계 / *ZFC 공리계 / *피보나치수열 6장 대수학 1 다항식의 응용 / 2 복소수 / 3 벡터 / 4 행렬 7장 기하학 1 원뿔곡선 / 2 도형의 이동 / 3 공간도형 / 4 공간좌표와 벡터 8장 해석학 1 함수 / 2 유리함수와 무리함수 / 3 지수와 지수함수 / 4 로그와 로그함수 / 5 일반각과 삼각함수 / 6 극한 / 7 함수의 연속 / 8 미분 / 9 적분 / 10 거리, 속도, 가속도 / *코흐 눈송이 3부 응용수학: 고등학교 과정+ 9장 통계학 1 경우의 수 / 2 확률 / 3 확률분포 / 4 통계적 추정 / 5 통계자료 조사 /6 t분포와 추정 / 7 통계적 검정 / *베르트랑의 역설 / *몬티홀 문제 / *심프슨의 역설 10장 경제 수학 1 수와 경제 / 2 함수와 경제 / 3 행렬과 경제 / 4 미분과 경제 11장 인공지능 수학 1 인공지능 기초 / 2 텍스트 데이터 처리 / 3 이미지 데이터 처리 / 4 예측과 최적화 / *감성 분석 찾아보기

입시 수학 강사로 활동할 때도, 대중 수학 강연을 할 때도 이런 이야기를 자주 들었습니다. “어릴 적에 배웠던 초·중·고 수학을 어른의 눈높이에서 폭넓고 재미있게 알려주는 책이 있으면 좋겠어요.” 수강생분들의 이런 이야기는 제게 강렬한 자극을 주었고, 그분들의 실질적인 필요로부터 이 책이 시작되었다고 해도 과언이 아닙니다. 교육열이 높은 우리나라에서 수학은 좋은 성적을 받기 위해, 더 나은 학교에 진학하기 위해 어쩔 수 없이 공부해야 하는 과목으로 인지되는 경향이 있습니다. 하지만 수학이라는 학문은 ‘궁극의 지적 유희’ 그 자체입니다. (4쪽)

음수에 관한 최초의 기록은 3세기 중국 수학자 유휘가 주해본을 쓴 《구장산술》에서 볼 수 있습니다. 이후 인도와 이슬람권을 거쳐 14세기 무렵에 유럽에도 음수가 소개되었습니다. 다만 유럽에서는 음수에 대응하는 크기란 없다고 여겨 오랫동안 수로 인정하지 않았습니다. 18세기 무렵 스위스의 수학자 레온하르트 오일러가 ‘빚과 이익 모델’을 발표하면서 유럽에도 본격적으로 음수가 도입됩니다. 빚과 이익 모델에서는 음수를 빚으로 양수를 이익으로 이해합니다. 예를 들어 -(-1)=+1인 이유를 다음과 같이 빚과 이익 모델로 이해할 수 있습니다. (18쪽)

기하평균이라는 명칭은 이 계산으로 ‘도형 혹은 공간의 크기에 관한 평균’을 구할 수 있기 때문에 붙었습니다. 예를 들어 아래 그림과 같이 두 변의 길이가 각각 3, 12인 직사각형의 넓이와 동일한 넓이를 갖는 정사각형의 한 변 길이는 그 기하평균인 6입니다. 마찬가지로 세 변의 길이가 각각 2, 4, 8인 직육면체의 부피와 동일한 부피를 갖는 정육면체의 한 변 길이는 그 기하평균인 4입니다. (72쪽)

분배 문제란 다음과 같습니다. ‘실력이 같은 두 사람이 같은 돈을 걸고 게임을 해서 먼저 5점을 따는 사람이 돈을 모두 가지기로 했다. 4:3의 득점 상황에서 만약 게임이 중단되었다면 돈을 어떻게 분배해야 할까?’ (…)
한편 페르마는 상금을 3:1로 분배해야 한다고 주장했습니다. 아래 그림처럼, 페르마는 A가 먼저 5점을 딴 후 A 혹은 B가 각각 이길 경우까지 경우의 수로 고려했습니다. 물론 5점을 따면 승패가 정해져 후속 게임이 필요 없어집니다. 하지만 페르마는 각 경우가 일어날 가능성이 같아야 한다는 전제로 접근했습니다. 아래 그림처럼 A:B가 6:3, 5:4(5:3 이후), 5:4(4:4 이후), 4:5인 네 경우의 가능성이 같으므로, A가 최종 승리하는 경우를 세 가지, B가 최종 승리하는 경우를 한 가지라 판단했죠. (144~145쪽)

공리는 증명 없이 참으로 받아들이는, 가장 기초적인 근거가 되는 명제입니다. 예를 들어, 공집합 공리는 ‘어떤 것도 포함하지 않는 집합(공집합)이 존재한다’라는 명제입니다. 어떤 형식 체계에 관한 논의의 전제로 주어진 공리들의 집합을 공리계라고 부릅니다. 자연수를 정의하는 페아노 공리계, 집합을 정의하는 ZFC 등이 그 예입니다. 한편, 공리와 용어의 정의로부터 참이라 증명이 완료된 명제는 정리라고 부릅니다. 어떤 정리를 증명하기 위해 사용되는 정리를 보조정리라 부르고, 정리로부터 쉽게 도출되는 부가적인 정리를 따름정리라 부릅니다. (189쪽)

뉴턴의 순간속도와 라이프니츠의 접선 기울기는 본질적으로 ‘무한히 작은 어떤 값, 즉, 무한소에 대한 변화율’이라는 개념을 공유합니다. 하지만 두 수학자 모두 무한소의 개념을 구체화하지는 않았습니다. 뉴턴은 운동의 순간성에 관한 질문이 형이상학과 연결되어 있는 것이라며 정의를 피했고, 라이프니츠 역시 무한소를 ‘그럴듯한 허구’라 간주하며 엄밀한 논의 를 피했습니다. (330쪽)

‘한계적 변화’란 어떤 변수의 값이 아주 작은 단위만큼 변화할 때, 그로 인해 나타나는 다른 변수의 변화량을 의미하는 개념입니다. 경제 현상은 대부분 연속적이고 점진적으로 발생하므로, 전체의 큰 변화보다는 극히 작은 변화가 가져오는 효과를 파악하는 것이 중요합니다. 예를 들어 ‘하루에 100개를 생산한 기업이 200개를 생산하면 비용이 얼마나 오를까?’ 같은 큰 변화를 분석하는 것보다, 생산량을 100개에서 101개로 늘릴 때 생기는 비용 증가를 분석하면 훨씬 더 정확한 의사 결정을 내릴 수 있죠. 이는 수학적으로 미분 개념과 밀접한 관련이 있습니다. 어떤 함수의 독립변수를 극히 적은 양 Δx만큼 변화시켰을 때 종속변수가 얼마나 변하는지, 즉 Δy/Δx가 어떻게 되는지를 살피는 것이 한계적 변화의 기본 원리죠. (497쪽)

딥 러닝은 인공 신경망을 이용해 복잡한 패턴과 표현을 학습하는 기계 학습의 한 분야입니다. 인공 신경망이란 인간의 두뇌에서 영감을 받아 만들어진 컴퓨터 모델입니다. 두뇌의 신경세포인 뉴런은 여러 개의 뉴런으로부터 입력을 받고 각 각의 뉴런은 한번 작동될 때 여러 개의 다른 뉴런으로 신호를 전달하죠. 마찬가지로 인공 신경망은 여러 계층에 걸친 노드(인공 뉴런)들을 연결하고, 노드 간 연결의 강도를 조정하기 위해 각각의 연결에 작용할 가중치를 부 여한 후 활성화 함수를 통해 다음 노드들에 처리된 신호를 전달하는 방식으로 모델링합니다. (513쪽)

당신은 수학으로부터 도망칠 수 없다! 유튜브 수학 No.1 채널 ‘이상엽Math’ 화제의 수학 강의 ＊ 수학 공부, 무엇부터 시작해야 할까? 초중고의 모든 수학 개념부터! 학교에서 못 배운 깊고 넓은 수학 강의 ＊ “수학의 본질과 원리를 깊이 탐구하기에 부족함이 없는 체계적인 안내서다.” ─최영기(서울대학교 수학교육과 명예교수) 입시 중심의 문제 풀이를 넘어선 보통 사람들을 위한 수학 강의 최근 수학을 취미로 삼는 성인들이 눈에 띄게 늘고 있다. 학창 시절 ‘수포자(수학 포기자)’였던 아쉬움을 달래려 자투리 시간에 수학 학습지나 문제집을 푸는 이들의 일상은 이제 SNS에서 낯설지 않은 풍경이다. 복잡한 이해관계가 얽힌 사회생활에 피로를 느끼는 어른들이, 논리적인 수학의 세계에서 새로운 재미와 위안을 발견하고 있는 것이다. 지적인 유희를 위해서든 실질적인 필요 때문이든, 수학 공부를 다시 시작하고 싶은 성인들에게 가장 좋은 출발점은 학교에 다녔다면 누구나 배운 기억이 있는 ‘학교 수학’일 것이다. 이번에 출간된 《다시 보는 초중고 수학》은 수학의 세계에 다시 발을 들이려는 어른들을 위한 체계적인 안내서다. 이 책은 초중고 교과과정을 기반으로 구성하되, 시험 대비용이 아닌 학문으로서 수학을 조망하여 독자들이 수학의 본질에 다가갈 수 있도록 돕는다. 기존의 수학 수업이 개념의 역사나 탄생 배경을 생략한 채 문제 풀이 중심으로 진행되었다면, 이 책은 수학의 발전 과정을 입체적으로 그려낸다. 수학자들이 어떤 난관에 부딪혔을 때 새로운 개념이 탄생했는지, 그리고 그것이 어떻게 오늘날의 체계를 갖추게 되었는지 그 역동적인 흐름을 담았다. 나아가 학교 수학에서 다루지 않는 현대 수학의 전제들까지 짚어줌으로써, 더 심화된 공부를 갈망하는 이들에게 명확한 이정표를 제시한다. 10만 구독자가 열광한 ‘이상엽Math’ 시험을 넘어 지적 유희로, 어른만이 즐길 수 있는 수학의 참맛 이 책의 저자 이상엽은 10만 구독자를 보유한 국내 인기 수학 유튜브 채널 ‘이상엽Math’의 운영자이자, 학생과 학부모는 물론 교사·강사·사서·시민대학 수강생 등 전 세대를 대상으로 강연을 이어가고 있는 수학 대중 강사다. 저자는 자신의 채널에서 ‘취미로 수학하자’라는 제목으로 현대 수학 개론, 집합론, 선형대수학, 해석학, 위상수학 등 깊이 있는 수학 주제를 다뤄왔다. 그런데 이 강의를 접한 시청자들이 “어릴 적 배웠던 수학을 어른의 눈높이에서 폭넓고 흥미롭게 풀어낸 책이 있으면 좋겠다”라고 열렬히 요청해왔고, 그 실질적인 필요가 이 책을 탄생시킨 밑거름이 되었다. 저자는 평가와 시험에 매몰될 수밖에 없는 학생들과 달리, 어른이야말로 수학이 선사하는 ‘궁극의 지적 유희’를 온전히 즐길 수 있는 주인공이라고 강조한다. 정답을 맞혀야 한다는 압박에서 벗어나 왜 이런 공식이 나왔는지 그 배경과 원리를 탐구하는 과정 자체가 성인에게는 차원 높은 휴식이자 지적 해방감을 경험할 기회가 되기 때문이다. 이 책은 단순히 과거의 파편화된 기억을 되살리는 복습에 그치지 않고, 흩어져 있던 수학 지식을 하나의 거대한 체계로 꿰어내어 세상을 명쾌하게 바라보는 새로운 논리적 틀을 선사한다. 학창 시절 누군가에게는 트라우마로 남았을 수학이, 이제는 삶의 여유를 채우고 지적 호기심을 자극하는 든든한 취미이자 동반자로 거듭나기를 바라는 저자의 진심 어린 초대가 이 책 한 권에 고스란히 담겨 있다. 수학이라는 거대한 체계로 다시 세우는 12년의 지도 인공지능 수학, 경제 수학 등 2022 개정 교육과정까지 완벽 반영 이 책은 독자가 수학의 전체 상을 조망할 수 있도록 치밀하게 설계되었다. 총 3부 구성으로, 초등학교부터 중학교 과정을 아우르는 1부, 고등학교 공통 및 일반선택 과목을 심도 있게 다루는 2부, 그리고 인공지능 수학·경제 수학·실용 통계 등 진로선택 및 융합선택 과목을 담은 3부로 이어진다. 국가 교육과정의 흐름을 따르고 있기에, 독자들은 가장 익숙하면서도 체계적인 방식으로 수학의 여정을 다시 시작할 수 있다. 《다시 보는 초중고 수학》만의 가장 큰 특장점은 학교 수학이 더 넓은 수학적 위계 안에서 어떻게 배치되는지 명확한 지도를 제시한다는 점이다. 예컨대 초·중등 과정의 ‘수와 연산’, ‘변화와 관계’, ‘도형과 측정’, ‘자료와 가능성’이 각각 현대 수학의 줄기인 대수학, 해석학, 기하학, 통계학으로 확장된다. 한층 복잡해지는 고등학교 수학을 다룰 때 이러한 관점은 빛을 발한다. 집합과 수열은 수학 기초론으로, 방정식과 행렬은 대수학으로, 함수와 미적분은 해석학이라는 거대한 범주로 자연스럽게 연결하며 지식의 파편들을 유기적인 체계로 통합해준다. 더불어 시대적 변화를 반영하여 2025~2027년에 순차 적용되는 ‘2022 개정 교육과정’의 신설 과목들을 발 빠르게 담아냈다. ‘경제 수학’과 ‘인공지능 수학’ 장은 성인들이 학창 시절에는 접하지 못했으나 현대 사회를 살아가는 필수 도구로서 반드시 알아야 할 수학적 기초를 다룬다. 이는 실용적인 지식에 목말랐던 독자들에게 매우 유용한 가이드가 될 것이다. 학습 방식 또한 기존의 문제 풀이 중심에서 완전히 탈피했다. 초중고 수학에 등장하는 거의 모든 개념에 대한 증명 과정을 포함하여, 단순 암기보다는 ‘어떻게 이 개념이 도출되었는가’라는 본질적인 질문에 집중한다. 각 장의 끝에는 ‘몬티 홀 문제’, ‘심프슨의 역설’ 등 본문 개념이 실생활이나 현대 수학과 맞닿는 흥미로운 읽을거리를 배치했다. 더 깊이 있는 탐구를 원하는 독자라면 페이지 내 QR코드를 통해 저자 이상엽의 강의 영상으로 연결, 입체적인 학습을 이어갈 수도 있다. 교사·강사·학부모, 대학생까지 아우르는 활용성 워니 작가가 그린 ‘수학 유머툰’ 57편 수록 서울사이버대학교 응용수학통계학과 강의 채택 교육과정을 충실히 반영한 이 책은 현직 교사와 강사, 학부모에게도 훌륭한 길잡이가 된다. 특정 학년 위주로 지도하며 전체적인 흐름에 갈증을 느꼈던 교육자들에게는 폭넓은 배경 지식을, 자녀의 날카로운 질문에 당황하곤 했던 학부모들에게는 교과서 너머의 본질적인 답을 제공한다. 이 책이 제시하는 깊이 있는 통찰은 학생들의 호기심을 더 성숙한 탐구로 이끄는 밑거름이 되어줄 것이다. 또한, 변화하는 교육과정 속에서 기초 수학 지식을 재정립해야 하는 대학생들에게도 이 책은 유용하다. 방대한 초중고 수학 중 자신에게 필요한 부분을 단시간에 파악하고 보충할 수 있는 효율적인 교재이기 때문이다. 이러한 탁월한 구성과 전문성을 인정받아, 저자의 동명 유튜브 강의 시리즈 ‘다시 보는 초중고 수학’은 서울사이버대학교 응용수학통계학과의 기초 강의로 채택되기도 했다. 콘텐츠의 깊이만큼이나 독자를 배려한 재미 요소도 놓치지 않았다. 저자의 전매특허인 ‘수학 유머툰’ 57편이 본문 곳곳에 수록되어 자칫 어렵게 느껴질 수 있는 수학적 개념들 사이에서 완급 조절 역할을 한다. 1세대 스타 웹툰 작가 ‘워니’의 감각적인 그림과 유머로 재탄생한 만화들은, 독자들에게 유쾌한 휴식처가 되어주면서 소소한 웃음을 자아낸다. 《다시 보는 초중고 수학》은 과거에 수학을 포기했던 이들에게는 다시 시작할 용기를, 수학을 좋아했던 이들에게는 깊이 있게 수학을 이해하는 기쁨을 선사한다. 이제 우리를 괴롭히던 차가운 시험지 대신, 세상을 명쾌하게 바라보게 하는 강력한 도구로서의 수학을 마주할 시간이다. 이 책이 그 지적 모험의 동반자가 되어줄 것이다.