인공지능의 뿌리이자 청소년이 가장 어려워하는 기하 수학, 그 담을 허문다 시간 여행으로 만나는 각, 합동, 닮음, 넓이, 입체 청소년들은 왜 기하 수학을 가장 어려워할까? 기하는 도형을 놓고 ‘공간’과 ‘관계’를 생각하는 영역이다. 그래서 기하는 예술과 기술, 인공지능의 뿌리 학문이다. 기하는 ‘왜 이런 개념이 생겼는가’를 질문하고 체험해야 제대로 이해할 수 있다. 정의와 공식만 외운다면 친해지기 어려운 높다란 담을 쌓게 된다. 『10대를 위한 기하 수학의 세계』는 시간 여행 형태로 이뤄지는 기하와의 만남이다. 기하의 이해를 돕기 위해 러시아 모스크바 국립대학교에서 수학 박사를 받은 저자가 시간과 공간을 넘나들며 이야기 형식으로 기하를 풀어냈다. 이 책은 중고등 과정의 기하학적인 면을 모두 포괄했으며 기초부터 심화까지 다룬다. 각 장은 세 명의 청소년 주인공을 중심으로, 고대부터 현대까지 실제 수학자들과 토론하고 증명하는 만남이 담겼다. 그 안에서 기하를 몸으로 느끼며 이해하게 된다. 다만 수식을 써서 푸는, 또는 함수 개념으로 해결하는 영역은 제외했다. 그래서 중학생도 읽을 수 있으며 기하의 기본과 생각체력을 단단히 다지도록 돕는다.

책을 펴내며 제0장 환영 제1장?각의 기하학 : 직선, 각, 직각, 맞꼭지각, 동위각, 엇각, 평행 직각, 예각, 둔각?맞꼭지각?삼각형의 세 내각의 합, 삼각형의 외각?평행 제2장?합동의 기하학 : 삼각형, 합동, 합동 조건(SSS, SAS, ASA), 이등변삼각형 삼각형?삼각형 포개기?삼각형의 합동?삼각형의 합동 조건: SSS 합동?삼각형의 합동 조건: SAS 합동?삼각형의 합동 조건: ASA 합동 그리고 이등변삼각형 제3장?닮음의 기하학 : 닮음, 다각형의 닮음, 닮음비, 삼각형의 닮음 조건 그림자와 닮음?다각형의 닮음?닮음비?삼각형의 닮음 조건 제4장?넓이의 기하학 : 삼각형·다각형·원·부채꼴의 넓이 삼각형의 밑변과 높이?삼각형의 넓이?다각형의 넓이?원의 넓이 제5장?직각삼각형의 기하학 : 직각삼각형, 피타고라스 정리, 피라미드, √2 연못의 직각삼각형?피라미드의 직각삼각형?바빌론의 직각삼각형?중국의 직각삼각형?증명 제6장?원의 기하학 : 원의 중심, 현, 삼각형의 외심, 원주각과 중심각, 원의 접선 원의 중심 찾기: 첫 번째 방법?원의 중심 찾기: 두 번째 방법?원의 중심과 현?삼각형의 외심?중심각과 원주각?원의 접선 제7장?삼각비의 기하학 : 삼각비 sin, cos, tan, 삼각비의 성질, 삼각비의 표 합동, 닮음, 넓이를 넘어서?직각삼각형의 높이?삼각비 sin의 탄생?삼각비 사인 표 만들기?삼각비 코사인 표 만들기?삼각비 탄젠트의 표?sin(각) = cos(90°-각) 제8장?입체의 기하학 : 삼각비의 활용, 정다면체, 회전체, 각기둥과 각뿔, 기둥과 뿔의 부피, 구의 부피 삼각비의 활용?정다면체?정다면체가 품은 비밀?각기둥?각뿔, 원기둥, 원뿔, 구?회전체?각기둥, 각뿔의 부피?원기둥, 원뿔, 구 제9장?안녕

인류는 기하를 꾸준히 연구하고 발전시켜 왔습니다. 기하 덕분에 거대한 피라미드를 세우고, 지구 전체의 지도를 만들고, 지구에 앉아서 태양까지의 거리를 잴 수 있게 되었죠. 도형의 각과 길이와 형태를 모르면 그런 건 전혀 할 수 없거든요! 덕분에 지금은 GPS의 도움을 받아 모르는 길을 찾고, 무선으로 소리와 영상을 보내고, 태양계의 바깥으로 우주선을 보내게 된 거랍니다. (중략)
기하는 참 오래된 학문이기도 해요. 아무리 적게 잡아도 3천 살은 되었습니다. 수학의 성경이라고 불리는 유클리드의 《원론》이 세상에 나온 지 2천3백 년은 족히 되었고, 그보다 훨씬 전부터 인류가 도형을 두고 생각한 증거가 꽤 많거든요. 사실 기하의 나이는 무한대죠. 가장 단순한 도형, 직선을 가지고 한번 생각해 볼까요. 직선은 언제 생겼을까요? 또 언제부터 인류는 ‘직선’이란 ‘개념’을 생각하게 되었을까요? 이렇게 생각하면 기하의 나이가 무한대라는 걸 바로 알아차릴 수 있습니다.
-「책을 펴내며」 중에서

“아래에 있는 두 막대가 직선으로 있다고 가정했으니까… 좋았어. 내가 제대로 이해했는지 들어 줄래? 직각은 곧바르게 선 각의 크기다. 그래서 어느 쪽으로도 기울지 않았다. 즉, 한 직선 위에 다른 직선이 서서 두 각이 서로 이웃할 때 왼쪽 각과 오른쪽 각의 크기가 같으면 두 각도 모두 직각이다. 어때?”
셋은 동시에 고개를 끄덕였다. 니콜이 나지막한 목소리로 말했다.
“직각은 어느 쪽으로도 기울지 않은 각의 크기다. 그래서 건물도 직각으로 세우고 우리도 직각으로 서 있는다. … 이 두 막대가 직선으로 놓였다는 것을 어떻게 확인할 수 있을까?”
-「제1장 | 각의 기하학」 중에서

이솝: 그러면 삼각형은 세 변, 세 꼭짓점, 세 각으로 결정되겠군요.
유클리드: 핵심만 골라 잘 요약했군요! 자, 이제 두 삼각형이 합동인지 어떻게 알까요? 삼각형은 세 변, 세 꼭짓점, 세 각으로 결정된다고 했지요? 거기에 답이 있는 것 같은데요?
(중략)
이솝: 세 변의 길이가 모두 같고 세 각의 크기가 모두 같으면 됩니다. 점, 직선, 각은 어디에 있든 상관없지만 크기가 같다면 완전히 포개질 테니까요. 점은 크기가 없으니 세 변과 세 각을 확인하면 됩니다!
유클리드: 훌륭합니다. (중략) 세 변의 길이와 세 각의 크기가 모두 같으면 겹쳐질 수밖에 없습니다. 그것들이 삼각형을 결정하니까요. 이제 질문을 약간 다르게 해 보겠습니다. 여섯 가지 요소(세 변, 세 각)를 모두 알아야 할 필요 없이 그중 일부만 알아도 되지 않을까요?
-「제2장 | 합동의 기하학」 중에서

왼쪽에 사람이 서 있고 A 지점에 거울이 놓여 있어요. 사람과 거울의 거리가 3이고 거울과 나무의 거리가 9입니다. 두 삼각형이 닮았다면(사실 거울의 특성 때문에 둘은 닮을 수밖에 없어요) 지면에서 사람의 눈높이를 알 때 나무의 높이를 잴 수 있겠죠? 닮음비가 3이면 사람의 눈높이까지의 3배가 나무의 높이일 거예요. 한 번 더 상상해 볼까요?
-「제3장 | 닮음의 기하학」 중에서

아르키메데스의 말을 요약하면 이렇다.
(1) 삼각형의 밑변의 길이와 높이로 삼각형의 넓이를 알 수 있다.
(2) 모든 다각형은 삼각형으로 쪼개진다.
두 사실로부터 다각형의 넓이도 구할 수 있다. 다각형을 삼각형으로 쪼개서 삼각형 하나하나의 넓이를 구한 후 더하면 되니까 말이다. 예를 들어 사각형 모양의 땅을 이렇게 삼각형 두 개로 쪼갤 수 있다.
-「제4장 | 넓이의 기하학」 중에서

브라흐마는 오랜 연구 끝에 다음 사실을 알아냈다.
첫째, 두 각도에 대한 sin 값을 알면 두 각도의 합인 각도에 대응하는 sin 값을 찾는 방법이 있다. 덧셈과 곱셈만 쓴다.
둘째, 두 각도에 대한 sin 값을 알면 두 각도의 차인 각도에 대응하는 sin 값을 찾는 방법이 있다. 곱셈과 뺄셈만 쓴다.
셋째, 한 각도에 대응하는 sin 값을 알면 각도의 반에 대응하는 sin 값을 찾는 방법이 있다. 제곱근을 이용한다.
예를 들어 45도와 30도의 sin 값을 알 때, 45 + 30인 75도에 대응하는 sin 값을 알 수 있다. 한 각도가 75도인 직각삼각형을 그려서 길이를 재지 않고도 말이다!
-「7장 | 삼각비의 기하학」 중에서

중고등 기하 수학의 핵심 개념 완비 수식 부담 없이 스토리로 배운다! 『10대를 위한 기하 수학의 세계』는 중고등 교과과정의 기하 전 영역을 아우르되, 중학생도 이해할 수 있는 폭으로 구성되었다. 직선과 각, 평행, 합동, 닮음, 넓이, 삼각비, 원, 입체까지 기하의 핵심 개념을 빠짐없이 다루며 많은 내용을 토론으로 풀어냈다. 기하가 논리의 영역이기 때문이다. ‘왜 평행선은 만나지 않을까?’ ‘직각은 왜 특별할까?’ 이 질문들 속에서 독자는 생각하고, 반박하고, 증명하는 과정을 경험하게 된다. 청소년 독자들이 재미있게 읽을 수 있도록 시간 여행 이야기로 책을 구성했다. 도형도 결국 생각의 형태이고, 생각은 이야기로 배울 때 가장 이해하기 쉽기 때문이다. 각 장의 핵심 내용 제1장 「각의 기하학」에서는 ‘직각’, ‘평행’, ‘맞꼭지각’ 같은 핵심 개념을 실제 상황 속에서 관찰하고 생각하도록 안내한다. 단순히 정의를 암기하는 것이 아니라, 왜 그런지 스스로 찾아가도록 길잡이가 되어준다. 제2장 「합동의 기하학」에서는 삼각형을 포개고 비교하며 ‘합동 조건(SSS, SAS, ASA)’을 스토리 속에서 익힌다. 합동 조건은 중고등 과정에서 가장 중요한 기초 개념! 공식을 외우지 않아도 직접 체험하고 비교하다 보면 의미를 익힐 수 있다. 제3장 「닮음의 기하학」에서는 빛과 그림자, 피라미드의 비례 속에서 닮음의 원리를 이해한다. 실제 도형을 그리거나 포개 보면서 단순한 비율 계산이 아니라, 자연과 예술 속에서 비례 개념을 발견하도록 한다. 제4장 「넓이의 기하학」에서는 삼각형·사각형·원·부채꼴의 넓이를 다룬다. 넓이의 개념은 도형의 구조적 이해에서 출발! ‘넓이=공식’이라는 고정관념 대신, ‘넓이=도형 간 관계의 재구성’이라는 개념을 익히며 수학의 감각을 살린다. 제5장 「직각삼각형의 기하학」에서는 피타고라스의 정리와 고대 문명(이집트, 바빌론, 중국)의 사례를 엮어 수학의 필요성과 응용성을 만난다. 수학적 사고는 역사와 지역, 시대를 넘나든다는 보편성을 느낄 수 있다. 제6장 「원의 기하학」에서는 원의 중심, 현, 외심, 원주각, 중심각, 접선 등 교과과정의 핵심 요소가 총망라된다. 단순한 도형이 아니라 수학과 철학이 만나는 지점에서 ‘원’의 개념을 익히도록 안내한다. 제7장 「삼각비의 기하학」에서는 삼각비(sin, cos, tan)의 기초를 ‘표를 만들어 보는 실험’으로 배운다. 수학자가 각도를 측정하고 비율을 기록하며 사인표를 완성하던 과정을 따라가면서, ‘삼각비는 외우는 값이 아니라 만들어진 개념’임을 이해한다. 비례 개념의 심화, 함수 개념의 자연스러운 예비 학습으로 이어진다. 제8장 「입체의 기하학」에서는 정다면체와 회전체, 각기둥과 뿔의 부피를 배우며 공간 감각을 확장한다. 입체는 많은 청소년이 어려워하는 영역! 하지만 공간 속의 도형을 그려보는 훈련을 하면 수학적 자신감이 향상된다. 역사 속 수학자들을 초대 인공지능 시대의 청소년들에게 가장 필요한 수학적 교양 이 책의 각 장에는 안내자가 등장한다. 히파티아, 유클리드, 로바쳅스키 같은 수학자들이 나와 자신의 사유와 발견을 생생하게 들려주며 주인공들과 토론한다. 그리고 그들의 이야기는 모두 실제 기하 개념의 탄생 배경과 맞닿아 있다. 안내자들과 함께 떠나는 여덟 번의 시간 여행 속에서 독자는 기하를 배우는 동시에 ‘생각하는 능력’을 키운다. 기하를 통해 논리, 철학, 과학, 예술의 기반을 탐험하는 것이다. AI 시대를 살아갈 청소년들에게 가장 필요한 수학적 교양을 전한다.