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책소개자세한 해설과 많은 예시로 해석학을 처음 접하는 사람에게 도움이 되는 책
해석학을 배우는 학생들이 얻고자 하는 것은 단순히 내용의 결과만은 아니다. 학부 수준에서 소개하는 해석학의 내용은 대부분 잘 조직되어 있고 직관적으로 결론을 이해하는 데 어려움이 없다. 오히려 스토리의 전개 방식이 낯설어 애를 먹는 경우가 많다. 책에서 주장하는 정리의 논리적인 전개 방식에 더 중점을 두고 배워야 하는 이유이기도 하다. 이 책에서는 이미 증명된 정리도 한 번 더 찢어서 분석하여 정리와 증명 방식의 한계를 드러내고, 그 한계를 개선하는 데 필요한 조건을 제시하는 등 비판적 사고를 기르는 데 역점을 두고 풀어 썼다. 이런 활동이 해석학뿐만 아니라 수학을 공부하는 데 필요한 기본적인 역량을 기르는 데 도움이 될 것으로 믿기 때문이다.
이 책에서 다루는 주제는 실수체계, 수열, 함수의 연속, 미분과 적분, 급수, 함수열, 해석함수, 적분함수 등 해석학의 가장 기본적이고 공통적인 내용이다. 정리의 증명에 초점을 둔 대부분의 교재와는 달리, 이 책에서는 정리의 적용 범위와 확장 가능성, 그리고 증명 방식의 응용성 등을 비판적으로 고찰하고 새로운 결과를 얻을 수 있는지를 검토하는 등 정리의 의의와 가치를 분석하는 데 주안점을 두었다. 이를 위해 정의와 정리 바로 다음에 분석란을 두었으며, 한 주제에 이어지는 깊은 수학적 내용이 있는 경우에는 ‘한걸음더’라는 코너를 만들어 향후 어떤 방향으로 발전되어 나가는지를 간략하게 소개하였다. ‘연습문제’와 ‘단원종합문제’에서는 정리의 조건의 필요성을 드러내는 문제, 해결해보는 재미를 느낄 수 있는 문제, 깊은 사고를 요구하는 수학적 문제까지 다양하게 제시하여 문제를 해결하는 과정에서 해석학의 묘미와 깊이를 느낄 수 있도록 하였다.
목차1. 실수체계
1.1. 실수체계
1.2. 실수의 부분집합
1.3. 집합의 크기
1.4. 실수의 연속성
1.5. 단원종합문제
2. 수열
2.1. 수열의 수렴
2.2. 부분수열
2.3. 상극한과 하극한
2.4. 완비성과 수열
2.5. 단원종합문제
3. 위상집합
3.1. 위상공간
3.2. 거리공간
3.3. 완비거리공간
3.4. 콤팩트집합
3.5. 연결집합
3.6. 베어 정리
3.7. 칸토어 집합과 칸토어 함수
3.8. 단원종합문제
4. 함수의 연속
4.1. 함수의 극한
4.2. 함수의 연속
4.3. 연속함수의 성질
4.4. 연속함수의 성질-위상적 접근
4.5. 균등연속
4.6. 단조함수
4.7. 불연속점의 종류와 집합
4.8. 단원종합문제
5. 미분
5.1. 함수의 미분
5.2. 미분의 활용
5.3. 도함수의 성질
5.4. 볼록함수
5. 단원종합문제
6. 적분
6.1. 적분가능한 함수
6.2. 적분계산
6.3. 리만합과 적분가능성
6.4. 연속과 적분가능성
6.5. 이상적분
6.6. 단원종합문제
7. 무한급수
7.1. 무한급수
7.2. 절대수렴 판정법
7.3. 조건수렴
7.4. 재배열
7.5. 무한급수의 곱
7.6. 급수의 오차와 활용
7.7. 단원종합문제
8. 함수열
8.1. 함수열과 균등수렴
8.2. 균등수렴과 해석학적 성질
8.3. 함수의 근사
8.4. 미분불가능한 함수
8.5. 단원종합문제
9. 멱급수와 해석함수
9.1. 멱급수
9.2. 해석함수
9.3. 해석함수의 활용
9.4. 단원종합문제
10. 적분함수
10.1. 이변수함수의 극한과 연속
10.2. 적분함수의 해석학적 성질
10.3. 단원종합문제
*별책-연습문제 및 단원종합문제 풀이집 |
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