유클리드의 《원론(Στοιχε?α)》은 서양 수학과 논리학의 가장 근본적인 토대이며, 그 구조적 완벽함은 시대를 초월하여 지식인의 필독서로 자리매김해 왔습니다. 유클리드 원론 번역본 두 번째 권인 이 책은 T. L. Heath의 영문 해설본 《The Thirteen Books of Euclid’s Elements》을 바탕으로 하며, 원론의 제4권, 제5권, 제6권을 담고 있습니다. 앞선 제1권, 제2권,제3권이 기하학의 기본 문법이었다면, 이 제4권, 제5권, 제제6권은 그 문법을 활용하여 더욱 깊고 복잡한 기하학적 문제를 해결하는 고급 기술을 제시합니다. 제4권은 원과 관련된 정다각형의 작도를 다룹니다. 주어진 원 안에 삼각형과 사각형을 비롯한 정다각형을 내접시키고 외접시키는 문제를 해결하며, 고대 그리스 수학자들이 가졌던 작도에 대한 관심사를 보여줍니다. 제5권은 유클리드 원론에서 가장 중요한 이론적 성취 중 하나인 비례 이론을 다룹니다. 에우독소스의 비례 이론을 정교하게 체계화하여, 통약 가능한 양은 물론 통약 불가능한 양(무리수)까지 포함하는 모든 종류의 양에 적용할 수 있는 일반적인 비례 관계를 확립합니다. 제6권은 제5권의 비례 이론을 평면 도형에 적용하여 닮은 도형의 성질을 탐구합니다. 삼각형과 평행사변형의 닮음 조건, 그리고 2차 방정식의 해법으로 사용된 넓이의 응용과 같은 혁신적인 기법이 등장하며, 특히 아름다운 비례인 황금 분할의 작도법도 이 권에 포함되어 있습니다.

역자 : 이선홍 약력 경상국립대학교 자연과학대학 수학물리학부 교수 경상국립대학교 과학영재교육원 원장 역임 저서 해석기하학, 경영·경제 수학 (김봉준 공저) 번역서 인색한 우주 (스테판 힐데브란트, 앤서니 토롬바 지음, 이선홍 옮김)

옮긴이 머리말 iii 차 례 v 제4권 원과 다각형의 내접과 외접 1 4.1 정의 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 정의 4.1: 다른 다각형에 내접하는 다각형 . . . . 2 정의 4.2: 다른 다각형에 외접하는 다각형 . . . . 2 정의 4.3: 원에 내접하는 다각형 . . . . . . . . . 3 정의 4.4: 원에 외접하는 다각형 . . . . . . . . . 3 정의 4.5: 다각형에 내접하는 원 . . . . . . . . . 4 정의 4.6: 다각형에 외접하는 원 . . . . . . . . . 4 정의 4.7: 원에 끼워진 선분 . . . . . . . . . . . 5 4.2 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 정리 4.1: (작도) 주어진 원에 주어진 길이 선분 의 끼움 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 정리 4.2: (작도) 주어진 삼각형과 닮은 삼각형 을 주어진 원에 내접시키기 . . . . . . . . 9 정리 4.3: (작도) 주어진 삼각형과 닮은 삼각형 을 주어진 원에 외접시키기 . . . . . . . . 12 정리 4.4: (작도) 주어진 삼각형에 내접하는 원 . 16 정리 4.5: (작도) 주어진 삼각형에 외접하는 원 . 19 정리 4.6: (작도) 주어진 원에 내접하는 정사각형 25 정리 4.7: (작도) 주어진 원에 외접하는 정사각형 28 정리 4.8: (작도) 주어진 정사각형에 내접하는 원 33 vi 차 례 정리 4.9: (작도) 주어진 정사각형에 외접하는 원 36 정리 4.10: (작도) 밑각 각각이 나머지 각보다 두 배인 이등변삼각형 . . . . . . . . . . 40 정리 4.11: (작도) 주어진 원에 내접하는 정오각형 46 정리 4.12: (작도) 주어진 원에 외접하는 정오각형 51 정리 4.13: (작도) 주어진 정오각형에 내접하는 원 59 정리 4.14: (작도) 주어진 정오각형에 외접하는 원 64 정리 4.15: (작도) 주어진 원에 내접하는 정육각형 68 따름정리 4.1: 정육각형과 원의 내접과 외접 . . 74 정리 4.16: (작도) 주어진 원에 내접하는 정십오 각형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 제5권 비와 비례의 일반 이론 79 5.1 정의 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 정의 5.1: 개수 등분 . . . . . . . . . . . . . . . 80 정의 5.2: 개수 배 . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 정의 5.3: 크기에 대한 두 양의 비 . . . . . . . . 81 정의 5.4: 두 양의 비의 존재성 . . . . . . . . . . 81 정의 5.5: 양의 비가 다른 두 양의 비와 크기가 같다 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 정의 5.6: 비례하는 양들 . . . . . . . . . . . . . 82 정의 5.7: 두 양의 비가 다른 두 양의 비보다 값 이 크다 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 정의 5.8: 세 양의 비례성 . . . . . . . . . . . . . 83 정의 5.9: 비례하는 세 양에 대한 이중 비 . . . . 84 정의 5.10: 비례하는 네 양에 대한 삼중 비 . . . 84 정의 5.11: 대응하는 양 . . . . . . . . . . . . . . 85 정의 5.12: 교대비 . . . . . . . . . . . . . . . . 85 정의 5.13: 역비 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 차 례 vii 정의 5.14: 비의 결합 . . . . . . . . . . . . . . . 85 정의 5.15: 비의 분리 . . . . . . . . . . . . . . . 86 정의 5.16: 비의 전환 . . . . . . . . . . . . . . . 86 정의 5.17: 등비 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 정의 5.18: 변형 비례하는 양 . . . . . . . . . . . 86 5.2 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 정리 5.1: 여러 개수의 양 각각의 동일 개수 배 전체와 여러 개수의 양 전체의 동일 개수 배의 크기 동일성 . . . . . . . . . . . . . 87 정리 5.2: 한 양의 개수 배와 다른 개수 배 전체 . 89 정리 5.3: 주어진 양의 개수 배의 다른 개수 배 . 91 정리 5.4: 비례식에서 전항의 개수 배와 후항의 다른 개수 배의 비례성 . . . . . . . . . . 94 정리 5.5: 한 양과 그 일부의 동일 개수 배 . . . 98 정리 5.6: 두 양과 그 일부의 동일 개수 배 . . . 100 정리 5.7: 크기가 같은 두 양의 다른 동일한 양에 대한 비의 값 동일성 . . . . . . . . . . . 102 따름정리 5.1: 비례식의 역비례성 . . . . . . . . 103 정리 5.8: 크기가 다른 두 양의 다른 동일한 양에 대한 비의 값 크기 . . . . . . . . . . . . 104 정리 5.9: 동일한 양에 대해 이루는 두 비의 값이 같은 두 양의 크기 동일성 . . . . . . . . 110 정리 5.10: 동일한 양에 대해 비를 이루는 두 양 에 대한 비의 값과 양의 크기 . . . . . . 112 정리 5.11: 동일한 비와 값이 같은 비들의 값의 동일성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 정리 5.12: 여러 양들이 비례할 때, 전체 전항들 과 전체 후항들의 비 . . . . . . . . . . . 116 viii 차 례 정리 5.13: 첫 번째 비가 두 번째 비와 값이 같고, 두 번째 비가 세 번째 비보다 값이 크면, 첫 번째 비는 세 번째 비보다 값이 크다 . 118 정리 5.14: 비례하는 두 비에서 대응하는 항들의 크기 비교 . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 정리 5.15: 두 양이 이루는 비와 이 두 양의 동일 개수 배가 이루는 비의 값 동일성 . . . . 122 정리 5.16: 비례식의 교대성 . . . . . . . . . . . 124 정리 5.17: 결합 비례식의 분리 비례성 . . . . . 127 정리 5.18: 분리 비례식의 결합 비례성 . . . . . 131 정리 5.19: 두 양에서 두 양의 비와 값이 같은 비 를 이루는 부분들을 뺄 때 남은 부분들의 비 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 따름정리 5.2: 비례식의 역비례성 . . . . . . . . 134 정리 5.20: 세 양과 다른 세 양이 차례대로 비례 할 때 첫 항과 세 번째 항의 크기 비교 . 135 정리 5.21: 세 양과 다른 세 양이 차례대로 변형 비례할 때 첫 항과 세 번째 항의 크기 비교137 정리 5.22: 차례대로 쌍의 비가 정해진 유한개 양의 등비의 값 동일성 . . . . . . . . . . 139 정리 5.23: 변형 비례하는 양들의 두 모임에서 등비 값의 동일성 . . . . . . . . . . . . 142 정리 5.24: 기준량이 동일한 두 비레식의 결합 . 146 정리 5.25: 비례하는 네 양에서 내항의 합과 외 항의 합의 비교 . . . . . . . . . . . . . . 148 제6권 닮은 도형의 기하학 151 6.1 정의 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 정의 6.1: 닮은 도형 . . . . . . . . . . . . . . . 152 차 례 ix 정의 6.2: 극과 평균 비 . . . . . . . . . . . . . . 152 정의 6.3: 도형의 높이 . . . . . . . . . . . . . . 153 6.2 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 정리 6.1: 높이가 같은 두 도형에서 넓이 비와 밑변 길이 비의 값 동일성 . . . . . . . . 154 정리 6.2: 삼각형에서 밑변의 평행 선분과 옆변 의 비례 절단 . . . . . . . . . . . . . . . 158 정리 6.3: 삼각형의 각의 이등분과 두 옆변과 밑 변의 두 조각의 비례 . . . . . . . . . . . 163 정리 6.4: 두 삼각형에서 모든 대응 각의 크기 동일성에 따른 대응 각을 끼고 있는 변들 의 비례 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 정리 6.5: 두 삼각형에서 대응하는 각을 끼고 있 는 변들의 비례에 따른 모든 대응 각의 크기 동일성 . . . . . . . . . . . . . . . . 174 정리 6.6: 두 삼각형에서 크기가 같은 대응하는 각의 두 옆변의 비례에 대한 두 삼각형의 모든 대응하는 각의 크기 동일성 . . . . . 178 정리 6.7: 두 삼각형에서 하나의 대응하는 각의 크기 동일과 다른 대응하는 각을 끼고 있 는 두 옆변의 비례와 남은 대응하는 각의 예각성 또는 비예각성에 대한 두 삼각형 의 모든 대응하는 각의 크기 동일성 . . . 181 정리 6.8: 직각삼각형에서 직각에서 밑변에 내 린 수선이 만드는 닮은 삼각형 . . . . . . 187 따름정리 6.1: 직각삼각형에서 두 길이의 기하 평균 구하기 . . . . . . . . . . . . . . . . 190 정리 6.9: (작도) 선분의 개수 등분 . . . . . . . 191 x 차 례 정리 6.10: (작도) 주어진 절단된 선분과 비례하 게 선분 절단하기 . . . . . . . . . . . . . 193 정리 6.11: (작도) 주어진 두 선분에 비례하게 세 번째 선분 작도하기 . . . . . . . . . . 196 정리 6.12: (작도) 주어진 세 선분에 비례하게 네 번째 선분 작도하기 . . . . . . . . . . 198 정리 6.13: (작도) 주어진 두 길이의 기하평균 구하기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 정리 6.14: 크기가 같은 각이 있는 두 평행사변 형에서 그 각을 끼고 있는 변의 역 비례 성과 넓이 동일성 . . . . . . . . . . . . . 203 정리 6.15: 크기가 같은 각이 있는 두 삼각형에 서 그 각을 끼고 있는 변의 역 비례성과 넓이 동일성 . . . . . . . . . . . . . . . . 207 정리 6.16: 두 직사각형에서 한 각을 끼고 있는 변의 역 비례성과 넓이 동일성 . . . . . . 210 정리 6.17: 세 개의 선분의 비례성과 중간값의 기하 평균성 . . . . . . . . . . . . . . . . 214 정리 6.18: (작도) 주어진 선분 도형과 닮은 선 분 도형을 주어진 선분 위에 작도하기 . . 218 정리 6.19: 두 닮은 삼각형의 넓이 비와 대응하 는 변의 비 . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 따름정리 6.2: 닮은 다각형의 닮음 심각형 분해 . 225 정리 6.20: 닮은 다각형의 닮음 심각형 분해 . . 226 따름정리 6.3: 두 닮은 다각형의 넓이 비와 대응 하는 변의 길이 비의 이중 비 . . . . . . . 234 정리 6.21: 동일 선분 도형과 닮은 두 도형의 닮음235 정리 6.22: 네 개의 선분의 길이 비례성과 그 위 에 놓인 닮은 도형의 넓이 비례성 . . . . 237 차 례 xi 정리 6.23: 모든 대응하는 두 각이 크기가 같은 두 평행사변형의 넓이 비와 대응하는 변 들의 두 길이 비의 곱비 . . . . . . . . . . 241 정리 6.24: 평행사변형에서 대각선을 공유하는 부분 평행사변형의 닮음 . . . . . . . . . 245 정리 6.25: (작도) 주어진 선분 도형과 닮은 도 형이면서 다른 주어진 선분 도형과 넓이 가 같은 선분 도형 . . . . . . . . . . . . 251 정리 6.26: 평행사변형에서 한 각을 공유하는 닮 고 같은 위치 관계에 있는 부분 평행사변 형의 대각선과 전체 평행사변형의 대각 선의 겹침 . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 정리 6.27: 주어진 선분 위에 주어진 평행사변 형과 닮고 같은 위치 관계에 있는 도형을 잘라내 만들어진 평행사변형의 넓이 비교 258 정리 6.28: (작도) 주어진 선분 도형과 넓이가 같고, 주어진 평행사변형과 닮고 같은 위 치 관계에 있는 도형을 잘라내 만들어진 평행사변형을 주어진 선분 위에 작도하기 261 정리 6.29: (작동) 주어진 선분 도형과 넓이가 같 고, 주어진 평행사변형과 닮고 같은 위치 관계에 있는 도형을 초과하여 만들어진 평행사변형을 주어진 선분 위에 작도하기 268 정리 6.30: (작도) 선분을 황금 분할로 나누기 . 274 정리 6.31: 직각삼각형에서 빗변에 놓인 선분 도 형과 직각을 끼고 있는 두 변에 놓인 닮 고 같은 위치 관계에 있는 두 도형 합의 넓이 동일성 . . . . . . . . . . . . . . . . 277 xii 차 례 정리 6.32: 한 꼭짓점을 공유하는 두 삼각형이 한 직선 위에 놓일 충분조건 . . . . . . . 280 정리 6.33: 원의 두 중심각 또는 두 원주각에서 두 호의 길이 비와 두 각의 크기 비의 값 의 동일성 . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 찾아보기 287

머리말 유클리드의 《원론(Στοιχε?α)》은 서양 수학과 논리학의 가장 근본적인 토대이며, 그 구조적 완벽함은 시대를 초월하여 지식인의 필독서로 자리매김해 왔습니다. 유클리드 원론 번역본 두 번째 권인 이 책은 T. L. Heath의 영문 해설본 《The Thirteen Books of Euclid’s Elements》을 바탕으로 하며, 원론의 제4권, 제5권, 제6권을 담고 있습니다. 앞선 제1권, 제2권,제3권이 기하학의 기본 문법이었다면, 이 제4권, 제5권, 제제6권은 그 문법을 활용하여 더욱 깊고 복잡한 기하학적 문제를 해결하는 고급 기술을 제시합니다. 제4권은 원과 관련된 정다각형의 작도를 다룹니다. 주어진 원 안에 삼각형과 사각형을 비롯한 정다각형을 내접시키고 외접시키는 문제를 해결하며, 고대 그리스 수학자들이 가졌던 작도에 대한 관심사를 보여줍니다. 제5권은 유클리드 원론에서 가장 중요한 이론적 성취 중 하나인 비례 이론을 다룹니다. 에우독소스의 비례 이론을 정교하게 체계화하여, 통약 가능한 양은 물론 통약 불가능한 양(무리수)까지 포함하는 모든 종류의 양에 적용할 수 있는 일반적인 비례 관계를 확립합니다. 제6권은 제5권의 비례 이론을 평면 도형에 적용하여 닮은 도형의 성질을 탐구합니다. 삼각형과 평행사변형의 닮음 조건, 그리고 2차 방정식의 해법으로 사용된 넓이의 응용과 같은 혁신적인 기법이 등장하며, 특히 아름다운 비례인 황금 분할의 작도법도 이 권에 포함되어 있습니다. 이 번역본은 원본의 핵심을 충실히 전달하면서도, 독자들의 이해를 돕기 위해 다음과 같은 과정을 거쳤습니다. 1 시각적 이해를 위한 그림 추가: 원본의 모든 문장이 나타내는 추론 과정을 평면 위에 기하학적 그림으로 나타내어, 독자들이 문장만으로는 이해하기 어려울 수 있는 논리적 전개를 한눈에 파악할 수 있도록 했습니다. 2 용어의 명확화: 원본에서는 정의되지 않았지만 실제 내용에서 많이 사용되는 원의 ‘원주’, ‘반지름’, ‘현’, ‘호’와 같은 용어들을 정의 부분에 명확하게 추가하여, 독자들이 혼동 없이 내용을 따라갈 수 있도록 했습니다. 3 양(量)의 개념 명확화: 원본에서는 ‘보다 크다’, ‘와 같다’, ‘보다 작다’와 같은 일반적인 비교 표현이 사용되었지만, 이 번역본에서는 기하학적 양의 개념을 명확히 하기 위해 다음과 같이 번역을 통일했습니다. ㆍ 선의 길이 비교에서는 ‘보다 길다’, ‘와 길이가 같다’, ‘보다 짧다’라고 번역했습니다. ㆍ 삼각형과 같은 평면도형의 넓이 비교에서는 ‘보다 넓다’, ‘와 넓이가 같다’, ‘보다 좁다’라고 번역했습니다. ㆍ 비의 크기 비교에서는 ‘보다 크다’, ‘와 값이 같다’, ‘보다 작다’라고 번역했습니다. 이 책이 수학도, 철학자, 그리고 논리적인 사고방식에 관심을 가진 모든 이들에게 유클리드가 제시한 불멸의 논리적 탐구 여정에 동참하 는 길잡이가 되기를 바랍니다. 가좌 캠퍼스에서 옮긴이 2025년 10월