고대 그리스의 위대한 수학자 유클리드가 저술한 《원론(Στοιχε?α)》은 인류 역사상 가장 중요한 수학 교과서 중 하나이자 논리학의 정수입니다. 이 책은 기하학이라는 학문을 하나의 공리적 체계로 정립하여, 몇 개의 공리(공준과 일반 이치)로부터 모든 기하학적 명제를 논리적으로 연역하는 방법을 보여줍니다. 이는 서구 지성사의 근간을 이루는 논리적 사고의 틀을 제시하며, 이후의 모든 과학적 탐구에 지대한 영향을 미쳤습니다. 이 번역본은 T. L. Heath의 영문 해설본 《The Thirteen Books of Euclid’s Elements》을 바탕으로 하여, 《원론》제1권, 제2권, 제3권을 한데 묶은 것입니다. 이 세 권은 평면 기하학의 가장 근본적인 토대를 다루며, 유클리드 기하학의 전체 구조를 떠받치는 주춧돌과 같습니다. 제1권은 기하학의 모든 논리적 출발점입니다. 정의, 공준, 일반 이치를 제시하고, 이를 바탕으로 삼각형의 합동, 평행선의 성질, 피타고라스 정리 등 기초적인 평면 도형의 성질을 엄밀하게 증명합니다. 우리는 제1권을 통해 유클리드가 제시한 5개 공준과 5개 일반 이치를 바탕으로, 어떻게 단순한 진술들이 복잡한 증명으로 확장되는지를 목격하게 될 것입니다. 제2권은 오늘날 기하학적 대수학이라 불리는 내용을 담고 있으며, 선분의 길이를 이용해 넓이(직사각형)에 관한 정리들을 증명하고, 2차 방정식의 해법을 기하학적으로 다룹니다. 이는 고대 그리스 수학의 독특한 접근 방식을 보여줍니다. 제3권은 원 관련된 정리들을 다룹니다. 현, 접선, 각, 원주각 등 원의 기본적인 성질과 그 관계를 체계적으로 증명하며, 원이 평면 기하학에서 차지하는 중요한 역할을 확립합니다.

역자 : 이선홍 약력 경상국립대학교 자연과학대학 수학물리학부 교수 경상국립대학교 과학영재교육원 원장 역임 저서 해석기하학, 경영·경제 수학 (김봉준 공저) 번역서 인색한 우주 (스테판 힐데브란트, 앤서니 토롬바 지음, 이선홍 옮김)

옮긴이 머리말 iii 차 례 v 제1권 평면 기하학의 기초 1 1.1 정의 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 정의 1.1: 점 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 정의 1.2: 선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 정의 1.3: 선의 양 끝 . . . . . . . . . . . . . . . 2 정의 1.4: 선분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 정의 1.5: 면 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 정의 1.6: 면의 끝 . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 정의 1.7: 평면 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 정의 1.8: 평면 각 . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 정의 1.9: 선분 각 . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 정의 1.10: 직각과 수선 . . . . . . . . . . . . . . 5 정의 1.11: 둔각 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 정의 1.12: 예각 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 정의 1.13: 경계 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 정의 1.14: 도형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 정의 1.15: 원, 원주, 반지름 . . . . . . . . . . . 6 정의 1.16: 원의 중심 . . . . . . . . . . . . . . . 7 정의 1.17: 원의 지름과 현 . . . . . . . . . . . . 7 정의 1.18: 반원과 반원의 중심 . . . . . . . . . 7 vi 차 례 정의 1.19: 선분도형, 삼별형 도형, 사변형 도형, 다변형 도형 . . . . . . . . . . . . . . . . 8 정의 1.20: 정삼각형, 이등변삼각형, 부등변삼각형 8 정의 1.21: 직각삼각형, 둔각삼각형, 예각삼각형 9 정의 1.22: 정사각형, 직사각형, 마름모, 평행사 변형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 정의 1.23: 평행 선 . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 공준 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 공준 1: 선분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 공준 2: 선분의 연장 . . . . . . . . . . . . . . . 11 공준 3: 원 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 공준 4: 직각 크기의 동일성 . . . . . . . . . . . 12 공준 5: 두 선분 연장선의 만남 . . . . . . . . . 12 1.3 일반 이치 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 일반 이치 1: 같은 크기에 대한 추이 법칙 . . . . 13 일반 이치 2: 크기와 합 . . . . . . . . . . . . . . 13 일반 이치 3: 크기와 차 . . . . . . . . . . . . . . 13 일반 이치 4: 포개짐과 크기 . . . . . . . . . . . 13 일반 이치 5: 부분과 전체의 크기 . . . . . . . . 13 1.4 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 정리 1.1: (작도) 주어진 선분이 한 변이 되는 정삼각형 . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 정리 1.2: (작도) 주어진 선분과 길이가 같고 주 어진 점이 끝점이 되는 선분 . . . . . . . 17 정리 1.3: (작도) 주어진 긴 선분을 주어진 짧은 선분의 길이만큼 절단하기 . . . . . . . . 22 정리 1.4: 두 삼각형에서 대응되는 두 옆변이 각 각 길이가 같고 대응되는 끼인각이 크기 가 같은 두 삼각형의 포개짐 . . . . . . . 25 차 례 vii 정리 1.5: 이등변삼각형의 두 밑각 크기의 동일성 27 정리 1.6: 삼각형에서 크기가 같은 두 각의 마주 보는 두 변의 길이 동일성 . . . . . . . . 30 정리 1.7: 세 변의 길이에 대한 삼각형의 포개짐 32 정리 1.8: 두 삼각형에서 대응되는 두 변이 각각 길이가 같고 대응되는 밑변이 길이가 같 을 때 대응되는 끼인각의 크기 동일성 . . 34 정리 1.9: (작도) 선분 각의 이등분 . . . . . . . 36 정리 1.10: (작도) 선분의 이등분 . . . . . . . . 38 정리 1.11: (작도) 선분의 수선 . . . . . . . . . . 40 정리 1.12: (작도) 연장선과 그 위에 있는 않는 점에 대하여, 그 점이 끝점인 연장선의 수선 42 정리 1.13: 선분에 세워진 다른 선분이 만드는 두 이웃각 . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 정리 1.14: 한 끝점을 공유한 두 선분이 하나의 선분에 놓이기 위한 충분조건 . . . . . . 46 정리 1.15: 두 선분이 만드는 맞꼭지각의 크기 동일성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 따름정리 1.1: 교차하는 두 선분이 만드는 네 각 의 크기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 정리 1.16: 삼각형의 외각과 마주 보는 변에 접 한 내각의 크기 비교 . . . . . . . . . . . 50 정리 1.17: 삼각형의 두 내각의 크기 . . . . . . . 52 정리 1.18: 삼각형의 두 내각에서 더 긴 변에 마 주 보는 내각 . . . . . . . . . . . . . . . 54 정리 1.19: 삼각형 두 옆변에서 더 큰 내각에 마 주 보는 옆변 . . . . . . . . . . . . . . . 56 정리 1.20: 삼각형의 두 변과 나머지 변의 길이 비교 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 viii 차 례 정리 1.21: 삼각형에서 밑변과 내부의 점으로 만 들어지는 삼각형의 성질 . . . . . . . . . 60 정리 1.22: (작도) 주어진 세 선분과 길이가 같 은 세 변의 삼각형 . . . . . . . . . . . . 63 정리 1.23: (작도) 주어진 선분 각과 크기가 같 은 선분 각 . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 정리 1.24: 두 옆변이 대응하는 두 옆변과 각각 길이가 같은 두 삼각형에서 끼인각 크기 에 대한 밑변의 길이 . . . . . . . . . . . 69 정리 1.25: 두 옆변이 대응하는 두 옆변과 각각 길이가 같은 두 삼각형에서 밑변의 길이 에 대한 끼인각 크기 . . . . . . . . . . . 72 정리 1.26: 두 각과 한 변에 대한 삼각형의 합동성 74 정리 1.27: 두 선분이 평행하기 위한 엇각에 대 한 충분조건 . . . . . . . . . . . . . . . . 78 정리 1.28: 두 선분이 평행하기 위한 외각과 내 각에 대한 충분조건 . . . . . . . . . . . . 80 정리 1.29: 두 선분이 평행하기 위한 엇각과 외 각과 내각에 대한 필요조건 . . . . . . . . 82 정리 1.30: 두 선분이 평행하기 위한 충분조건 . 84 정리 1.31: (작도) 주어진 점을 지나고 주어진 선분과 평행한 선분 . . . . . . . . . . . . 86 정리 1.32: 삼각형의 세 내각의 크기 . . . . . . . 88 정리 1.33: 길이가 같은 두 평행 선분이 만드는 평행사변형 . . . . . . . . . . . . . . . . 90 정리 1.34: 평행사변형의 성질 . . . . . . . . . . 92 정리 1.35: 밑변이 공통이고 밑변과 위변이 평 행한 두 선분에 놓인 평행사변형들의 넓이 95 차 례 ix 정리 1.36: 밑변들이 길이가 같고 밑변과 위변 이 평행한 두 선분에 놓인 평행사변형들 의 넓이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 정리 1.37: 밑변이 같고 밑변과 그 마주 보는 꼭 짓점이 평행한 두 선분에 놓인 삼각형들 의 넓이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 정리 1.38: 밑변의 길이가 같고 밑변과 그 마주 보는 꼭짓점이 평행한 두 선분에 놓인 삼 각형들의 넓이 . . . . . . . . . . . . . . . 101 정리 1.39: 밑변이 같고 밑변에 대해 같은 쪽에 놓이며 넓이가 같은 삼각형 . . . . . . . . 103 정리 1.40: 밑변들이 길이가 같고 같은 선분에 놓이며 밑변에 대해 같은 쪽에 놓인 넓이 가 같은 삼각형들 . . . . . . . . . . . . . 105 정리 1.41: 밑변이 같고 평행한 두 선분에 놓인 평행사변형과 삼각형 . . . . . . . . . . . 107 정리 1.42: (작도) 한 내각이 주어진 선분 각과 크기가 같고 주어진 삼각형과 넓이가 같 은 평행사변형 . . . . . . . . . . . . . . . 109 정리 1.43: 평행사변형의 대각선과 부분 평행사 변형들 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 정리 1.44: (작도) 주어진 선분을 한 변으로 하 고 한 내각이 주어진 각과 크기가 같고 주어진 삼각형과 넓이가 같은 평행사변형 114 정리 1.45: (작도) 한 내각이 주어진 각과 크기 가 같고 주어진 다각형과 넓이가 같은 평 행사변형 . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 정리 1.46: (작도) 주어진 선분이 한 변이 되는 정사각형 . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 x 차 례 정리 1.47: (피타고라스의 정리) 직각삼각형에 서 빗변에 세워진 정사각형과 다른 두 변 에 세워진 두 정사각형의 넓이 동일성 . . 127 정리 1.48: 한 변에 세워진 정사각형이 다른 두 변에 세워진 두 정사각형과 넓이가 같은 삼각형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 제2권 도형의 넓이: 기하학적 대수학 137 2.1 정의 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 정의 2.1: 두 변이 가로세로인 직사각형 . . . . . 138 정의 2.2: 그노몬 . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 2.2 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 정리 2.1: 한 변의 유한 절단을 이용한 직사각형 의 분해 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 정리 2.2: 한 변의 절단을 이용한 정사각형의 분해142 정리 2.3: 한 변의 절단을 이용한 직사각형의 직 사각형과 정사각형으로의 분해 . . . . . . 144 정리 2.4: 두 양의 실수의 합의 제곱에 대한 공 식의 기하적 표현 . . . . . . . . . . . . . 146 정리 2.5: 두 양수의 합과 차의 곱에 대한 공식의 기하적 표현 . . . . . . . . . . . . . . . . 151 정리 2.6: 두 양수의 합과 차의 곱에 대한 공식의 기하적 표현 . . . . . . . . . . . . . . . . 154 정리 2.7: 두 양의 실수의 차의 제곱에 대한 공 식의 기하적 표현 . . . . . . . . . . . . . 157 정리 2.8: 두 양의 실수의 합의 제곱과 차의 제 곱의 비교에 대한 기하적 표현 . . . . . . 161 정리 2.9: 두 양의 실수의 합의 제곱과 차의 제 곱의 합에 대한 공식의 기하적 표현 . . . 167 차 례 xi 정리 2.10: 두 양의 실수의 합의 제곱과 차의 제 곱의 합에 대한 공식의 기하적 표현 . . . 174 정리 2.11: (작도) 특정 이차방정식의 기하적 풀이183 정리 2.12: 둔각삼각형에 대한 피타고라스 정리 의 일반화 . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 정리 2.13: 예각삼각형대한 피타고라스 정리의 일반화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 정리 2.14: (작도) 주어진 다각형과 넓이가 같은 정사각형 . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 제3권 원 201 3.1 정의 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 정의 3.1: 넓이가 같은 두 원 . . . . . . . . . . . 202 정의 3.2: 원에 접하는 선분 . . . . . . . . . . . 202 정의 3.3: 접하는 두 원 . . . . . . . . . . . . . . 203 정의 3.4: 원의 중심에서 같은 거리에 있는 두 현 203 정의 3.5: 원의 중심에서 더 멀리 있는 현 . . . . 203 정의 3.6: 활꼴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 정의 3.7: 활꼴의 각 . . . . . . . . . . . . . . . 204 정의 3.8: 활꼴각 . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 정의 3.9: 윈에서 호에 놓인 각 . . . . . . . . . . 205 정의 3.10: 부채꼴 . . . . . . . . . . . . . . . . 205 정의 3.11: 닮은 활꼴 . . . . . . . . . . . . . . . 206 3.2 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 정리 3.1: (작도) 원의 중심 . . . . . . . . . . . . 207 따름정리 3.1: 원에서 현이 지름이기 위한 충분 조건 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 정리 3.2: 원에서 현의 내부성 . . . . . . . . . . 211 xii 차 례 정리 3.3: 원에서 지름에 의한 현의 이등분과 현 의 직교성 . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 정리 3.4: 원에서 중심을 지나지 않는 두 현이 교차할 때 동시 이등분의 불가능성 . . . 219 정리 3.5: 만나면서 서로 두 조각으로 나뉘는 두 원의 중심 . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 정리 3.6: 접하는 두 원의 중심 . . . . . . . . . . 224 정리 3.7: 원에서 중심이 아닌 안점에서 원주의 점까지의 선분 . . . . . . . . . . . . . . . 226 정리 3.8: 원에서 바깥점에서 원주의 점까지의 선분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 정리 3.9: 원에서 안점이 원의 중심이기 위한 충 분조건 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 정리 3.10: 두 원의 교차점의 개수 . . . . . . . . 242 정리 3.11: 한 원이 안에서 다른 원과 접할 때 접점과 중심들의 일직선성 . . . . . . . . 244 정리 3.12: 한 원이 바깥에서 다른 원과 접할 때 접점과 중심들의 일직선성 . . . . . . . . 246 정리 3.13: 접하는 두 원의 접점의 개수 . . . . . 248 정리 3.14: 원에서 현의 길이와 중심까지의 거리 250 정리 3.15: 원에서 현들의 길이 . . . . . . . . . 254 정리 3.16: 원에서 지름의 끝점에서 시작되는 지 름의 수선 . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 따름정리 3.2: 원에서 지름의 끝점에서 시작되 는 지름의 수선의 접선 성질 . . . . . . . 261 정리 3.17: (작도) 주어진 점에서 주어진 원에 접하는 선분 . . . . . . . . . . . . . . . . 262 정리 3.18: 선분이 원에 접할 때, 접점과 중심을 연결하는 반지름과 접선의 직교성 . . . . 266 차 례 xiii 정리 3.19: 선분이 원에 접할 때, 접점에서 접선 의 수선과 주어진 원의 중심 . . . . . . . 268 정리 3.20: 원에서 호 위에 놓인 중심각은 원주 각의 두 배 . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 정리 3.21: 동일한 활꼴의 활꼴각 크기 동일성 . 273 정리 3.22: 원에 내접하는 사각형의 마주 보는 두 각의 크기 . . . . . . . . . . . . . . . 275 정리 3.23: 선분 위의 닮은 활꼴의 유일성 . . . . 278 정리 3.24: 길이가 같은 선분 위의 닮은 활꼴들 의 넓이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 정리 3.25: (작도) 주어진 활꼴에 대한 전체 원 . 281 정리 3.26: 원에서 크기가 같은 각들의 밑에 놓 인 호의 길이 동일성 . . . . . . . . . . . 286 정리 3.27: 원에서 길이가 같은 호들에 놓인 각 의 크기 동일성 . . . . . . . . . . . . . . 288 정리 3.28: 원에서 길이가 같은 현에 잘린 호들 의 길이 동일성 . . . . . . . . . . . . . . 290 정리 3.29: 넓이가 같은 원에서 길이가 같은 호 들을 마주 보는 현들의 길이 동일성 . . . 293 정리 3.30: (작도) 호의 이등분 . . . . . . . . . . 295 정리 3.31: 활꼴의 활꼴각과 활꼴의 각의 크기 . 297 정리 3.32: 접점에서 원의 접선과 현이 이루는 각과 반대쪽 활꼴의 활꼭각의 크기 동일성301 정리 3.33: (작도) 주어진 각과 크기가 같은 활 꼴각이 있는 주어진 선분에 놓인 활꼴 . . 304 정리 3.34: (작도) 원에서 주어진 각과 크기가 같은 활꼴각이 있는 활꼴 . . . . . . . . . 313 정리 3.35: 원에서 두 현이 교차할 때 현의 두 부분의 길이 곱의 동일성 . . . . . . . . . 315 xiv 차 례 정리 3.36: 원의 바깥점에서 출발한 선분이 원 과 두 점에서 만날 때 두 점까지의 거리 곱의 동일성 . . . . . . . . . . . . . . . . 320 정리 3.37: 원의 바깥점에서 출발한 선분이 원 과 두 점에서 만날 때 두 점까지의 거리 곱을 이용한 접선의 판정법 . . . . . . . . 328 찾아보기 331

머리말 고대 그리스의 위대한 수학자 유클리드가 저술한 《원론(Στοιχε?α)》은 인류 역사상 가장 중요한 수학 교과서 중 하나이자 논리학의 정수입니다. 이 책은 기하학이라는 학문을 하나의 공리적 체계로 정립하여, 몇 개의 공리(공준과 일반 이치)로부터 모든 기하학적 명제를 논리적으로 연역하는 방법을 보여줍니다. 이는 서구 지성사의 근간을 이루는 논리적 사고의 틀을 제시하며, 이후의 모든 과학적 탐구에 지대한 영향을 미쳤습니다. 이 번역본은 T. L. Heath의 영문 해설본 《The Thirteen Books of Euclid’s Elements》을 바탕으로 하여, 《원론》제1권, 제2권, 제3권을 한데 묶은 것입니다. 이 세 권은 평면 기하학의 가장 근본적인 토대를 다루며, 유클리드 기하학의 전체 구조를 떠받치는 주춧돌과 같습니다. 제1권은 기하학의 모든 논리적 출발점입니다. 정의, 공준, 일반 이치를 제시하고, 이를 바탕으로 삼각형의 합동, 평행선의 성질, 피타고라스 정리 등 기초적인 평면 도형의 성질을 엄밀하게 증명합니다. 우리는 제1권을 통해 유클리드가 제시한 5개 공준과 5개 일반 이치를 바탕으로, 어떻게 단순한 진술들이 복잡한 증명으로 확장되는지를 목격하게 될 것입니다. 제2권은 오늘날 기하학적 대수학이라 불리는 내용을 담고 있으며, 선분의 길이를 이용해 넓이(직사각형)에 관한 정리들을 증명하고, 2차 방정식의 해법을 기하학적으로 다룹니다. 이는 고대 그리스 수학의 독특한 접근 방식을 보여줍니다. 제3권은 원 관련된 정리들을 다룹니다. 현, 접선, 각, 원주각 등 원의 기본적인 성질과 그 관계를 체계적으로 증명하며, 원이 평면 기하학에서 차지하는 중요한 역할을 확립합니다. 이 번역본은 원본의 핵심을 충실히 전달하면서도, 독자들의 이해를 돕기 위해 다음과 같은 과정을 거쳤습니다. 1 시각적 이해를 위한 그림 추가: 원본의 모든 문장이 나타내는 추론 과정을 평면 위에 기하학적 그림으로 나타내어, 독자들이 문장만으로는 이해하기 어려울 수 있는 논리적 전개를 한눈에 파악할 수 있도록 했습니다. 2 용어의 명확화: 원본에서는 정의되지 않았지만 실제 내용에서 많이 사용되는 원의 ‘원주’, ‘반지름’, ‘현’, ‘호’와 같은 용어들을 정의 부분에 명확하게 추가하여, 독자들이 혼동 없이 내용을 따라갈 수 있도록 했습니다. 3 양(量)의 개념 명확화: 원본에서는 ‘보다 크다’, ‘와 같다’, ‘보다 작다’와 같은 일반적인 비교 표현이 사용되었지만, 이 번역본에서는 기하학적 양의 개념을 명확히 하기 위해 다음과 같이 번역을 통일했습니다. ㆍ 선의 길이 비교에서는 ‘보다 길다’, ‘와 길이가 같다’, ‘보다 짧다’라고 번역했습니다. ㆍ 삼각형과 같은 평면도형의 넓이 비교에서는 ‘보다 넓다’, ‘와 넓이가 같다’, ‘보다 좁다’라고 번역했습니다. 이 책을 통해 독자 여러분이 유클리드의 정신을 느껴보고, 논리적 사고와 증명의 즐거움을 경험하기를 바랍니다. 《원론》은 단순히 수학을 배우는 책이 아니라, 어떻게 생각하고 어떻게 논리를 구성해야하는지를 가르쳐주는 위대한 교사입니다. 이제, 기하학의 세계로 첫 발을 내딛어 봅시다. 가좌캠퍼스에서 옮긴이 2025년 10월