역사상 인류가 발명해낸 많은 것이 단명했지만 수학은 영원하다. 도전을 거듭해온 수학의 장대한 역사를 알차게 정리한 이언 스튜어트의 수학사! 수학은 인간 사회에 어떤 영향을 미쳤고 우리의 삶을 어떻게 바꾸어 놓았는가. 이언 스튜어트는 고대 바빌로니아와 그리스, 이집트에서 출발해 뉴턴과 데카르트를 거쳐 페르마와 괴델에 이르기까지, 주요 키워드를 선별해 흥미로운 수학사의 세계로 우리를 안내한다. 수학, 과학, 기술 애호가들에게는 꼭 필요한 책이지만, 모든 독자들의 흥미를 끌기에도 충분하다! -〈Library Journal〉

서문 7 01 물표, 눈금 그리고 서판 - 수의 탄생 13 02 형태의 논리 - 기하학으로 가는 첫 단계 30 03 표기와 수 - 현대의 수 기호는 어떻게 생겨났는가? 59 04 미지수의 유혹 - X가 활약하는 무대 78 05 영원한 삼각형 - 삼각법과 로그 102 06 곡선과 좌표 - 기하는 대수고 대수는 기하다 122 07 수의 패턴 - 정수론의 기원 137 08 세계의 체계 - 미적분의 발명 161 09 자연의 패턴 - 물리학의 법칙을 구성하기 188 10 불가능한 양 - 음수가 제곱근을 가질 수 있는가? 208 11 굳건한 기초 - 미적분학의 논리적 기초를 확립하다 226 12 불가능한 삼각형 - 유클리드의 기하학이 유일한가? 242 13 대칭의 등장 - 방정식의 불가해성 262 14 대수학이 무르익다 - 수가 구조에 밀려나다 283 15 고무판기하학 - 정성적인 것이 정량적인 것을 이기다 304 16 사차원 - 이 세계를 벗어난 기하학 331 17 논리의 형태 - 수학을 굳건한 기초 위에 올려놓기 354 18 가능성이 얼마일까? - 확률에 대한 합리적 접근법 382 19 대량의 수들을 고속으로 계산하다 - 계산기의 등장과 계산 수학 397 20 카오스와 복잡성 - 불규칙성에도 패턴이 있다 411 도판목록 432 찾아보기 434

수학은 수와 함께 시작했다. 수학 분야가 더 이상 수치 계산에만 한정되지 않는 지금에도 근본적으로 수는 중요하다. 수의 기초에 관해 더욱 정교한 개념을 세워나감에 따라, 수학자들은 폭넓고 다양한 사고 분야를 발전시켰다. 덕분에 이제는 학교 수업시간에 접하는 내용을 훨씬 넘어서는 많은 분야가 등장했다. 오늘날의 수학은 수 자체보다는 수의 구조, 패턴 그리고 유형을 다루는 학문이다. 수학의 방법론은 매우 개념적이고 때로는 추상적이기도 하다. 또한 수학은 과학, 산업, 상업 그리고 심지어 예술에도 응용되며, 보편적이어서 어디에나 깃들어 있다. -13쪽

과학과 기술 분야에서 그리고 상업 분야에서도 점점 더 정교한 수학을 이용한다. 수 기호와 산수의 발명은 언어와 문자의 발명과 더불어 우리를 동물과 확연히 다른 존재로 만들어주었다 -29쪽

유클리드기하학은 삼각형에 바탕을 두고 있다. 그 주된 이유는 모든 다각형이 삼각형에서 시작해 만들어질 수 있으며, 이렇게 만들어진 다각형에서 원과 타원 같은 다른 흥미로운 도형을 만들 수 있기 때문이다. 삼각형의 계량적 성질―측정할 수 있는 성질, 가령 변의 길이, 각의 크기 또는 전체 넓이―은 다양한 공식과 관련되어 있는데, 이 공식들 중에는 아름다운 것이 많다. 이런 공식을 실제로 사용하면 항해와 측량에 매우 유용한데, 삼각법의 발달이 이에 큰 기여를 했다. -102쪽

로그 덕분에 과학자들은 곱셈을 빠르고 정확하게 할 수 있게 되었다. 단 한 명의 수학자가 20년에 걸쳐 만든 로그함수표 덕분에 이후 오랜 세월이 걸렸을 수만 건의 연구가 수월하게 이루어졌다. 이로써 펜과 종이를 이용한 과학적 분석이 가능해졌다. 만약 그런 도표가 없었다면 너무나 오랜 시간이 걸렸을 것이다. 과학은 그러한 방법이 없었다면 결코 발전할 수 없었다. 그런 간단한 아이디어가 가져다준 혜택은 이루 헤아릴 수가 없다. -121쪽

수학사에서 이루어진 발전 가운데 가장 중요한 한 가지를 꼽으라면 바로 미적분(학)이다. 미적분은 1680년경에 아이작 뉴턴과 고트프리트 라이프니츠Gottfried Leibniz가 독자적으로 발명했다. 라이프니츠가 먼저 발표했지만, 뉴턴은 (애국심이 넘치는 벗들의 지원을 등에 업고) 자신에게 우선권이 있다며 라이프니츠를 표절자로 몰아붙였다. 이 소동 때문에 영국 수학자와 대륙 수학자들은 한 세기 동안 관계가 악화되었는데, 주로 피해를 본 쪽은 영국 수학자들이었다. -161쪽

정수라는 이름은 단지 전부라는 뜻일 뿐이다. 다른 이름들은 해당 수 체계가 타당하고 합리적이라는 인상을 준다. 또는 자연스럽다든가 이성적이라든가 실제로 존재한다는 인상도 준다. 이런 이름들은 수가 이 세상의 특질을 반영한다는 오랜 견해를 단적으로 드러내준다. 많은 사람이 수학을 연구할 유일한 방법은 새로운 수를 발명하는 것이라고 여긴다. 이 견해는 한참 빗나간 생각이다. 수학 연구의 다수는 수 자체에 관한 것이 아니며, 어떤 경우든 새로운 수가 아니라 새로운 정리를 내놓는 것이 목적이기 때문이다. -208~209쪽

1850년 무렵 수학은 수학사를 통틀어 가장 의미심장한 변화를 겪었다. 비록 당시에는 잘 드러나지 않았지만 말이다. 1800년 이전에 수학 연구의 주요 대상은 비교적 명확했다. 수, 삼각형, 구 등이었다. 대수는 수식을 이용하여 수의 조작을 표현했지만, 수식은 그 자체로서 의미를 지니는 것이 아니라 과정의 기호적 표현으로 여겨졌을 뿐이다. 하지만 1900년이 되자 수식과 변환은 과정의 표현 수단이 아니라 그 자체로 의미 있는 것으로 여겨졌다. 그리고 대수의 대상들은 훨씬 더 추상적이면서 더욱 일반적인 것이 되었다. 사실, 대수에 관한 한 기존의 개념들은 아주 큰 변화를 겪었다. 심지어 곱셈의 가환법칙(ab=ba)과 같은 기본적인 법칙들도 어떤 중요한 분야에서는 성립하지 않게 되었다. -262쪽

20세기와 21세기 초반 수학의 성장은 가히 폭발적이었다. 지난 100년 동안 인류 역사를 통틀어 그 어느 때보다도 수많은 새로운 수학적 발견이 이루어졌다. 이런 발견을 간단히 소개하려면 수천 페이지짜리 책도 모자랄 것이기에, 어쩔 수 없이 우리는 수많은 자료 중에서 몇 가지 사례만을 살펴보기로 하자.
특별히 새로운 수학 분야로 확률에 관한 이론을 들 수 있다. 무작위적인 사건들과 관련된 확률을 연구하는 분야다. 한마디로 불확실성의 수학인 셈이다. 예전에는 수박 겉핥기식으로 이 문제를 다루었는데, 도박에서 경우의 수를 계산하거나 관찰 오류에도 불구하고 천문 관측의 정확도를 향상하기 위한 방법 등에서 확률 이론이 초보적으로 쓰였다. 하지만 20세기 초에 이르러 확률론은 그 자체의 의미가 있는 어엿한 수학 분야로 자리 잡았다. -382쪽

20세기 중반 무렵 수학은 급격한 성장 단계로 접어들고 있었다. 여러 분야에 수학이 응용되기 시작했고 새로운 강력한 방법들이 도입되었기 때문이다. 현대수학의 종합적인 역사는 적어도 그 이전까지의 모든 수학사와 맞먹을 것이다. 우리가 다룰 수 있는 것은 고작 몇 가지 대표적인 사례들이지만, 이를 통해 수학의 독창성과 창의성이 여전히 굳건히 살아 있음을 여실히 보여줄 수 있다. 그중 하나가 바로 1970년대와 1980년대에 대중들에게 널리 알려진 카오스 이론이다. 이 이론은 언론이 비선형 동역학에 붙인 이름이다. 이 주제는 미적분학을 이용한 전통적인 모형에서부터 자연스레 진화해왔다. 또 하나의 사례로 비정통적인 사고방식에 바탕을 둔 복잡계 이론을 들 수 있다. 새로운 과학뿐 아니라 새로운 수학을 촉진하는 데 기여하고 있는 이론이다. -411쪽

▼ 세상을 흐르게 하는 ‘수학’ 세상은 수학 없이는 돌아가지 않는다. 현재 우리가 당연하게 여기는 거의 모든 것이 수학적 개념과 방법에서 나왔다. 특히 최근에는 그 정도가 더 심해졌다. 텔레비전에서부터 휴대전화, 대형여객기, 자동차의 GPS, 기차 운행 일정표 그리고 의료용 스캔 장비에 이르기까지 모두 수학에 바탕을 둔다. 그런 의미에서 저자는 지금이야말로 수학의 황금시대라고 주장한다. 그러나 많은 사람들이 현대 기술문명에 수학이 항상 작동하고 있음을 알아차리지 못한다. 일상생활에서 나타나는 이런 기적들을 당연하게 보아 넘기고 있는 것이다. 물론 사용자가 기적을 현실로 만드는 숨은 원리까지를 굳이 알 필요는 없다. 만약 비행기 승객이 탑승 전에 삼각법 시험에 모두 통과해야 한다면, 하늘을 날 수 있는 사람은 극소수에 불과할 것이다. 사실 수학사는 그 범위가 너무나 광대해서 온전히 한 책에 다 담기란 불가능하다. 다 담았다 해도 그 내용은 전문가조차 읽기 힘들지도 모른다. 이 책은 내용을 선별해서 실었다. 당연히 책에 내용이 실리지 않았다 해서 수학사에 중요하지 않은 부분이라는 뜻이 아니란 말이다. 이 책은 시간순서대로 각 장마다 한 가지의 주제를 중심으로 수학의 흐름을 설명한다. 수학사는 주제만 가지고 나열할 수도 없고, 시간 순으로만 배열할 수도 없기 때문이다. 수학을 논할 때는 무엇보다 먼저 과거를 말하지 않을 수 없다. 과거의 어느 한 시점에서 시작된 이야기들이 발전을 거듭하면서 지금 현재를 만들고 있기 때문이다. ▼ ‘수’에서 시작한 수학의 역사 수학은 수와 함께 시작했다. 오늘날의 수학은 단순히 수를 계산하는 수 자체보다 수의 구조, 패턴 그리고 유형을 다루는 학문으로 발달했지만, 여전히 수는 수학에서 근본적으로 중요한 개념이다. 수학의 역사는 수를 표시하기 위한 기호의 발명과 함께 시작한다. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9로 시작해, 어떤 크기라도 상상가능한 모든 수를 표시하는 수 체계는 비교적 최근에 발명되었다. 대략 1500년 전에 나타났던 이 체계가 십진법으로 확장되어 고도로 정확하게 수를 표시할 수 있게 된 것은 고작 450년밖에 되지 않는다. 여기에 우리 생활 깊숙이 스며들어 있는 컴퓨터 수 계산이 널리 퍼진 것은 겨우 20년 전부터다. 수가 없었다면, 지금과 같은 문명은 존재할 수 없었다. 메시지를 전달하고, 입력한 글자의 오류를 수정하고, 상품들을 추적하고, 또한 우리가 먹는 약이 안전하고 효험이 있도록 보장한다. 그리고 핵무기를 만들게도 하며, 폭탄과 미사일이 목표물에 도달하도록 유도한다. 이 모든 것의 시작, 즉 수의 시작은 1만 년 전 극동에서 나타난 작은 찰흙 물표에서 시작되었다. 누가 어떤 것을 얼마나 소유하고 있는지를 기록하기 위해 사용되기 시작한 원뿔, 구 그리고 달걀 모양의 물표가 바로 시작이었던 것이다. 원기둥, 원반 그리고 피라미드 모양까지, 곡식과 가축 그리고 기름 단지를 가리키는 기호를 시작으로 대단원의 불이 켜진 것이다. ▼ 인류사를 채운 위대한 수학자들 수학이 자연의 기본 법칙들을 알게 해주는 바탕임을 처음 일깨운 피타고라스 교파를 비롯해, 가장 유명한 그리스의 기하학자 유클리드, 아르키메데스, 시인이자 뛰어난 수학자였던 오마르 카이얌 또 로그와 삼각법을 발명한 선구자들 등등 우리는 역사 속 수학자들에게 너무나 많은 신세를 졌다. 페르마와 가우스 덕분에 수학은 한 단계 더 도약했으며, 뉴턴이라는 걸출한 인물이 수학사의 한 장을 장식하기도 했다. 그들 덕분에 내비게이션을 단 차로 목적지까지 헤매지 않고 한 번에 갈 수 있게 되었고, 인류 최고의 발명 가운데 하나인 컴퓨터는 우리의 생활을 완전히 바꿔버렸다. 또한 미적분방정식의 발견은 우리 삶을 지구에 국한시키지 않고 우주로 뻗어나갈 수 있게 했다. 수학의 선구자들이라고 해서 이 모든 것들의 놀라운 돌파구를 단박에 찾아낸 것은 아니다. 가끔씩은 수백 년 동안 막다른 골목에서 수없는 실패를 반복하기도 했다. 우리가 지금 보고 있는 수학이라고 부르는 정교하고 아름다운 체계는 지난 4천 년에 걸쳐 형성된 것이다. 수학은 때로 실용적 필요성 때문에 성장했고, 또 어떨 때는 자신만의 독자적인 길을 걷기도 했다. 그래서 때로는 놀랄 정도로 현실 세계에서 진가를 발휘하여 신기술의 발전과 새로운 세계관을 촉진했다. 현실 세계 그리고 인간의 상상력. 이 둘은 긴 세월 동안 수학이 자신의 능력과 아름다움을 길러내 영감을 얻을 수 있던 원천이다. 그래서 어느 한쪽만 발전을 거듭하는 것보다 더 중요한 것은 둘의 결합이다. 수학은 멈추지 않는다. 새로운 응용 사례들은 새로운 수학을 요구하며, 수학자들은 여전히 이 새로운 부름에 응답한다. 특히 생물학은 수학적 모형화와 자연계 이해와 관련하여 새로운 도전을 제기하고 있다. 본질적으로 수학은 새로운 개념과 새로운 이론을 촉진한다. 많은 중요한 추측들이 여전히 미해결 상태이지만 수학자들은 여전히 도전에 도전을 거듭하고 있다.