인생을 살아가며 맞닥뜨리게 되는 문제들을 수학 문제처럼 쉽게 풀 수 있다면 어떨까? 생각의 패러다임이 바뀌는 네 가지 수학적 사고법 수학을 공부해야 하는 이유는 무엇일까? 피타고라스, 플라톤, 아르키메데스 등 고대부터 많은 철학자가 동시에 수학자였던 이유는 수학이 논리적인 사고방식을 탐구하는 학문이기 때문이었다. 따라서 수학적으로 생각하는 방법을 익힌다면 내 생각에 논리와 근거를 만들 수 있고, 삶의 다양한 문제 앞에서 더 좋은 답을 찾기 쉽다. 스웨덴 웁살라대학교의 응용수학과 교수인 데이비드 섬프터는 이 책에서 수학의 네 가지 사고법인 통계적, 상호작용적, 카오스적, 복잡계적 사고법을 소개하고, 그 개념들을 일상에 어떻게 적용할 수 있을지 설명한다. 특히 셀룰러 오토마타라는 수학 모델을 바탕으로 우리가 사는 세계의 복잡한 현상을 단순하게 풀어보는 방법을 제시한다. 구글, 테드엑스(TEDx), 옥스퍼드 등에서 강연하고, 여러 매체에 기고하며 대중 수학 커뮤니케이터로 활발히 활동하는 저자는 복잡계 여름학교에 참가했던 자신의 경험을 각색한 이 책에서 여러 수학 개념들을 이해하기 쉽게 설명한다. 또한 주인공인 저자의 이야기와 함께 수학이 곧 삶이었던 수학자들의 이야기도 함께 보여준다. 책에서는 피식자-포식자 모델로 자연은 끊임없이 순환하며 서로 영향을 주고받는다는 역동성을 설명한 ‘알프레트 로트카’, 수학적 추론법으로 우주선 발사와 이착륙 프로그램의 오차를 획기적으로 줄여 아폴로 11호 임무 성공에 기여한 ’마거릿 해밀턴‘, 수학의 복잡도와 삶의 가치를 연결한, 현대 수학사에서 빼놓을 수 없는 천재 ‘안드레이 니콜라예비치 콜모고로프’등 위대한 수학자들의 삶을 함께 살펴볼 수 있다. 그들이 일과 커리어, 우정과 사랑 등 일상의 문제들을 수학적 사고로 해결하는 모습을 통해 수학적 사고법을 내 삶에 적용하는 법을 쉽게 배울 수 있다.

저자 : 데이비드 섬프터 (David Sumpter) 스웨덴 웁살라대학교의 응용수학과 교수. 영국 맨체스터 대학교에서 수학으로 박사학위를 취득했고, 영국 왕립학회 회원이다. 최고의 수학 논문 저자에게 주는 캐서린 리처즈상(2015)을 수상했다. 물고기 떼와 개미 집단의 거동 원리부터, 축구팀의 패스 네트워크 분석, 기계학습과 인공지능의 차별까지 다양한 주제를 수학적으로 연구했다. 국경을 넘나들며 정부, 금융, 인공지능, 스포츠 분야의 자문가로 활동했다. 구글, 테드엑스(TEDx), 옥스퍼드 등에서 강연했고, 「가디언」,「이코노미스트 1843」등 다양한 매체에 기고했다. 이처럼 다양한 분야를 수학으로 분석하고 설명하는 대중 수학 커뮤니케이터로도 활발히 활동하고 있다. 역자 : 고현석 연세대학교 생화학과를 졸업하고 「서울신문」 과학부, 「경향신문」 생활과학부, 국제부, 사회부 등에서 기자로 일했다. 과학기술처와 정보통신부를 출입하면서 과학 정책, IT 관련 기사를 전문적으로 다루었다. 현재는 과학과 민주주의, 우주물리학, 생명과학, 문화와 역사 등 다양한 분야의 책을 기획하고 우리말로 옮기고 있다. 옮긴 책으로 『전쟁이 만든 세계』, 『똥』, 『우리는 어떻게 움직이는가』 등이 있다.

추천의 말 들어가며 네 가지 수학적 생각법 서문 여정을 시작하며 1장 통계적 사고 산타페에서 만난 젊은 천재들| 통계 속 평균의 함정 | 피셔가 내놓은 그럴듯한 답 | 통계의 힘 | 12년 더 오래 사는 법 | 차를 어떻게 마시나요? | 숫자로 보는 행복한 세상 | 내 행복은 몇 점일까? | 피셔가 보여준 통계의 위험성 | 숲을 나무로 혼동하지 마라 | 관점 바꾸기 2장 상호작용적 사고 생명의 순환 | 안정 상태에 도달하지 못하는 이유 | 사회적 화학 반응 | 사회적 전염과 회복에 숨은 비밀 | 부분의 합보다 큰 전체 | 친구들을 운동에 끌어들이는 법 | 제3법칙의 발견? | 셀룰러 오토마타 | 바람직한 논쟁의 기술 | 상향식 vs. 하향식 사고방식 3장 카오스적 사고 앞 단계에서 다음 단계 추론하기 | 안정된 상태에서 카오스로 | 바에서 마주한 카오스 문제 | 극단적 결심이 불러오는 파국 | 실수| 나비 효과 | 밤하늘을 보며: 1부 | 밤하늘을 보며: 2부 | 완벽한 결혼식 | 셀룰러 카오스 | B에서 C로 메시지 전하기 | 무작위성이 곧 정보다 | 스무고개 게임| 잘 듣는 사람은 늘 질문한다 | 엔트로피는 절대 줄어들지 않는다 | 분포 속에 사는 우리 | 단어 게임이 알려준 사실 | 더 나은 선택을 하는 법 | 단어들의 바다 4장 복잡계적 사고 세계 수학자 대회 | 매트릭스의 본질 | 한 차에 탄 네 사람 | 가장 간단히 표현할 수 있는 설명의 길이만큼 복잡한 | 숫자만으로는 충분하지 않다 | 네 번째 범주의 사고법 | 생명의 모든 것 | 사회 구조를 이해하는 새로운 렌즈 | 우리는 다른 사람을 통해 사람이 된다 | 여기 있어요! | 복잡한 문제 | 거의 항상 복잡한 문제 | 나는 누구인가? | 짧은 장면들로 이루어진 삶| 말로 할 수 없는 설명 | 말은 적게 할수록 의미가 깊어진다| 네 가지 방식 | 가치 있는 삶 감사의 말 참고문헌

이들 데이터에서 발견된 통계적 관계들은 정부, 기업, 기타 조직의 의사 결정에 도움을 줄 뿐만 아니라 우리가 개인적으로 내리는 결정에도 영향을 미친다. 또한 우리는 무엇을 먹고 얼마나 자주 운동해야 하는지, 어떻게 하면 삶의 만족도를 높이거나 시험공부를 가장 효과적으로 할 수 있는지 등 모든 것에 대해 과학적 연구의 권고를 따른다.
하지만 통계적 사고를 우리 삶에 적용할 때의 어려움은, 데이터로 무엇을 말할 수 있는지 아는 것뿐만 아니라 무엇을 말할 수 없는지도 명확히 아는 데 있다. 수많은 과학적 연구 중 어떤 것이 정말로 개인에게 적용될까? 우리가 접하는 통계는 인과관계를 의미하는가, 아니면 단순히 우연에 의한 상관관계일 뿐인가? 우리는 통계와 데이터를 통해 세상을 보는 방식에 얼마나 영향을 받아야 할까? 그리고 언제 숫자를 무시하고 다른 도구를 사용하는 것이 더 나을까?
-「통계 속 평균의 함정」

다른 형태의 사고방식으로 여정을 계속하기 전에, 이 한계를 좀 더 자세히 살펴보자. 책, 신문, 소셜 미디어, 유튜브 동영상, TED 강연은 우리의 심리, 동기, 성격에 대한 다양한 과학적 연구에 접근하게 해준다. 이 모든 과학적 연구들은 우리가 더 행복하고, 더 성공적이며, 삶에 더 만족할 방법을 나름대로 제안한다. 그렇다면 이런 연구 중에서 당신이라는 개인에게 적용될 수 있는 것을 어떻게 찾아낼 수 있을까?
-「숲을 나무로 혼동하지 마라」

그는 분필로 화살표 방향을 따라가는 궤적을 그렸다. 오른쪽 아래, 즉 토끼가 여우보다 더 많은 지점에서 시작한 궤적은 오른쪽 위로 올라갔다. 이곳은 토끼와 여우가 모두 많은 상태였다. 하지만 여우가 토끼를 잡아먹으며 토끼의 개체 수가 감소하자, 그는 왼쪽 위 사분면에 도달했고, 여기에서 여우의 개체 수도 감소하기 시작했다. 그리고 마지막으로 칠판의 왼쪽 아래 구역에 들어서자, 여우의 감소와 함께 토끼의 개체 수가 다시 증가했다. 그가 다시 오른쪽 아래 사분면으로 넘어가자, 주기가 처음부터 다시 시작되었다. 파커 교수가 말했다.
“이것이 우리가 결코 안정 상태에 도달하지 못하는 이유입니다. 종들 사이의 상호작용이 우리를 끝없는 주기로 이끌기 때문입니다.”
-「안정 상태에 도달하지 못하는 이유」

이 시뮬레이션에서 아이샤와 찰리는 동시에 소리를 지르기 시작했고, 이후 멈추기가 어려웠다. 하지만 찰리가 아이샤에게 소리로 대응하지 않으려고 노력하는 새로운 모델에서는 논쟁의 빈도가 확연히 줄어들었다.
우리가 궁극적으로 바꿀 수 있는 사람은 우리 자신뿐이다. 하지만 다른 사람에게 반응하는 방식을, 즉 상호작용의 기본 규칙을 바꾼다면 그 상호작용의 결과 또한 바꿀 수 있다. 찰리가 소리를 덜 지르면 아이샤도 소리를 덜 지르게 된다. 이는 아이샤가 본인의 규칙을 바꿔서가 아니라, 찰리가 아이샤에게 부정적인 반응을 덜 보였기 때문이다. 찰리가 변화를 시작했고, 그것이 둘 다에게 긍정적인 변화를 가져왔다.
-「바람직한 논쟁의 기술」

카오스를 다루는 또 다른 방법은 마음을 내려놓는 것이다. 두 배 규칙을 30번 적용했든, 당구대의 구멍을 막고 30라운드를 진행했든, 세부 사항은 더 이상 중요하지 않다. 카오스란 초기 조건을 알아내려고 하거나 역학을 단계별로 추적하려고 하거나 몇 단계를 거쳤는지 아는 것이 더는 의미가 없다는 것을 뜻한다. 이 시점에서는 아무것도 모른다고 가정하고 단순하게 질문을 시작해야 한다. “공이 당구대의 왼쪽에 있나요?” 또는 “공이 당구대의 윗부분에 있나요?” 같은 식으로 말이다.
이런 원리는 우리의 삶에도 그대로 적용된다. 지하철에서 우리가 통과하는 자동문 하나, 새로운 사람과의 만남, 비가 와서 밖에 나가지 않고 커피를 마시기로 한 결정, 말을 하며 약간 더듬는 단어 하나가 모두 우리 삶에 미세한 차이를 만든다. 시간이 지날수록 엔트로피는 증가한다. 오늘의 우리 자신을 아무리 잘 알고 있다고 해도, 미래에 우리에게 무슨 일이 일어날지는 알 수 없다.
-「엔트로피는 절대 줄어들지 않는다.」

크리스는 우리가 모두 “여기 있어요!”라는 삶의 농담을 찾아내야 한다고 말했다. 우리는 시스템 밖으로 나가 더 큰 진리를 깨닫고, 복잡성이 어떻게 발발되는지 이해해야 한다. 그러면서 크리스는 “비트겐슈타인의 사다리와 ‘여기 있어요!’ 농담은 또 다른 통찰을 제공합니다”라고 덧붙였다.
그 통찰은 개별 상호작용에서 집단적 패턴이 어떻게 창발하는지 이해한 후 우리가 그것에 어떻게 반응하는가에 관한 것이다. 패턴이 형성되는 원리를 깨닫는 순간, 우리는 연구하던 현상에 대한 이해를 한 단계 초월하게 된다. 그제야 우리는 세상이 우리에게 던진 농담의 의미를 알아차린다. 그 순간 복잡했던 것이 단순해진다.
-「여기 있어요!」

온라인 테스트의 결과가 어떠하든, 다른 사람들이 찰리를 단순화하거나 범주화하든, 찰리는 하나의 측정치나 소수의 측정치로 단순화될 수 없다. 마찬가지로 다른 사람들을 어떤 틀에 가두는 것도 위험하다. 그들을 수줍음이 많다, 자신감이 있다, 화를 잘 낸다, 냉소적이다, 똑똑하다, 어리석다, 체계적이다, 혼란스럽다 같은 말로 단정짓는 것은 옳지 않다. 모든 사람의 차원들은 맥락과 그들이 처한 상황에 따라 달라진다.
따라서 “나는 누구인가?”라는 질문의 답은, 당신은 단 하나의 차원으로 정의될 수 없다는 것이다. 당신은 수십억 차원을 지닌 존재이기 때문이다.
-「나는 누구인가?」

박형주(아주대학교 수학과 석좌교수), 김재경(KAIST 수리과학과 교수) 추천 수학에는 답이 있다 불확실한 삶의 문제를 푸는 네 가지 수학적 사고법 인생을 살아가다가 쉽게 해답을 찾을 수 없는 문제로 골머리를 썩을 때면 수학처럼 명쾌하게 답이 딱 떨어졌으면 좋겠다고 생각하게 된다. 내 삶도 수학 문제처럼 시원하게 풀 수는 없을까? 스웨덴 웁살라대학교의 응용수학과 교수인 데이비드 섬프터는 인생의 문제를 해결할 방법으로 셀룰러 오토마타 모델을 중심으로 한 네 가지 수학적 사고법을 제안한다. 저자의 말에 따르면 ‘과학과 수학의 핵심은 더 나은 추론 방법을 탐구하는 것이다.’ 셀룰러 오토마타 모델은 단순한 규칙에서 예측 불가능할 정도로 복잡한 패턴을 생성하는 시스템이다. 이는 정해진 규칙을 통해 결과를 도출하는 수학의 특성을 보여준다. 또한, 이 모델은 겉으로는 복잡해 보이는 현상의 본질에 단순한 규칙이 있음을 추측하게 한다. 따라서 셀룰러 오토마타가 보이는 패턴에서 파생한 통계적, 상호작용적, 카오스적, 복잡계적 사고를 익히고 그것을 내 삶에 적용한다면 복잡해 보였던 삶의 문제들이 단순하게 풀어지고 명쾌한 답을 얻을 수 있다는 것이다. 1) 통계적 사고법 통계적 사고법은 숫자와 데이터를 근거로 상황을 판단하는 방법을 말한다. 반복되는 데이터는 미래를 예측하는 데에 큰 도움이 된다. 데이터를 적절히 활용하려면 숫자로 나타난 정보를 제대로 파악해야 한다. 데이터가 어떻게 수집되었는지, 나타난 통계에 어떤 함정이 있는지를 살펴보는 것이다. 즉, 합리적인 판단을 내리기 위해서는 확률과 통계가 필요하다. 이 책에서는 국가별 행복 점수와 인터넷에 널리 퍼져 있는 수많은 다이어트 정보를 통계적 사고법의 예시로 들고 있다. 건강한 식사의 핵심은 신선한 채소를 먹고 상자나 캔에 담긴 가공식품을 피하는 데 있다는 것이다. 미국의 평균적인 슈퍼마켓에는 4만 개가 넘는 제품이 있다. 그 대부분이 가공식품이며 많은 제품이 건강상 이점을 주장하는 마케팅 메시지를 담고 있다. 이러한 마케팅 문구는 각 다이어트 식단에 대한 합의가 없다는 사실을 악용하여 자기 제품이 저지방이나 저탄수화물이라는 점을 강조한다. 하지만 해당 제품이 고도로 가공된 식품이라면 저지방이든 저탄수화물이든 별다른 이점이 없다는 사실은 언급하지 않는다. -「12년 더 오래 사는 법」 정보 과잉 시대에 이제는 챗GPT에게 물어보면 수초 이내에 전 세계의 모든 정보를 받아볼 수도 있다. 그러나 정보가 넘쳐나는 만큼 무분별한 정보들 사이에서 우리에게 정말 필요한 정보, 근거가 있는 정확한 정보를 찾아내는 능력의 필요성은 더욱 두드러진다. 2) 상호작용적 사고법 -상호작용적 사고법은 우리가 다른 사람, 사회, 세상과 상호작용하면서 나타나는 패턴을 인식하는 것을 말한다. 세상은 안정적인 균형을 찾아갈 것이라는 생각과 달리 사실은 끊임없이 상호작용하며 무한한 주기를 반복하고 있다. 때문에 패턴을 파악하는 순간 복잡해 보이는 삶의 문제들을 단순하게 정리해 쉽게 해결할 수 있다. 이 책에서는 집단에서 나타날 수 있는 다양한 패턴을 통해 내 주변의 환경을 좀 더 긍정적인 방향으로 바꿀 수 있고, 다른 사람과의 갈등도 쉽게 해결할 수 있다는 것을 보여준다. 이제 티핑 포인트의 아름다움이 드러난다. 그룹이 다섯 명의 문턱을 넘어서면, 피드백 효과가 그룹의 상태를 유지시킨다. 이제 그룹 내의 동료 압력은 건강을 유지하는 방향으로 작용한다. 만약 제니퍼가 이전의 건강하지 않은 행동으로 돌아가려고 하면, 친구들이 그녀에게 조깅하러 가자고 하거나, 에어로빅 강습에 오라고 상기시킬 것이다. 심지어 그룹에서 가장 소극적이었던 멤버들조차 단체 채팅방에 사진을 올리기 시작한다. 여기서 중요한 점은 결과가 투입한 노력에 비례하지 않는다는 것이다. 초기에는 제니퍼가 친구들을 설득하기 위해 정말 노력을 많이 해야 했지만, 일단 문턱을 넘어서면 그룹을 유지하는 데 거의 노력이 들지 않는다. -「친구들을 운동에 끌어들이는 법」 3) 카오스적 사고법 -카오스적 사고법은 상호작용적 사고법에서 한 단계 더 발전하여, 우리가 관찰하는 패턴이 항상 일정하지 않다는 것을 뜻한다. 아이러니하게도 이런 카오스를 만들어내는 것은 바로 패턴 속에서 스스로를 조절하려는 우리의 태도다. 이는 삶의 예측 불가능한 면모를 설명한다. 이미 익히 알고 있는 ‘나비 효과’가 카오스의 좋은 예시가 된다. 책에서는 이것이 사실 ‘갈매기의 날갯짓’이라는 사실을 짚어주며 소개한다. 1972년, 로렌츠가 강연 제목을 정하지 못하자 주최 측에서 ‘브라질에서 발생한 나비 한 마리의 날갯짓이 텍사스에서 토네이도를 일으킬 수 있는가?’라는 질문을 제목으로 선택했다. 이 제목은 인상적이긴 하지만 카오스라는 개념에 대해 약간 잘못된 인식을 하게 만들 수 있다. 마치 아마존 어딘가에 있는 한 마리의 나비가 날갯짓 한 번으로 텍사스에 강력한 토네이도를 일으킨다는 뜻으로 해석될 수 있기 때문이다. 나비 효과를 더 정확히 설명하자면, “북대서양에서 두 달 후 발생할 폭풍을 정확히 예측하려면 전 지구 곳곳의 대기 상태를 알아야 하고, 그 안에는 아마존의 나비가 날갯짓을 했는지도 포함된다”라고 설명해야 한다. 문제를 복잡하게 만드는 것은 특정한 나비, 초콜릿 한 조각, 또는 바에 있는 한 명의 손님 그 자체가 아니다. 삶을 예측할 수 없게 만드는 것은 모든 나비, 모든 초콜릿, 모든 낯선 것들에 대해 알지 못하는 우리의 불가피한 한계다. -「나비 효과」 4) 복잡계적 사고법 이 책에서 가장 중요하게 여기는 복잡계적 사고법은 앞에 소개한 통계적, 상호작용적, 카오스적 사고법을 이해하고, 이 모든 것이 각각 나타날 수도, 때로는 한꺼번에 나타날 수도 있음을 받아들이는 것을 말한다. 복잡계적 사고를 이해한다는 건 서로가 서로에게 영향을 줄 수 있고, 그것은 불규칙적이며 예상할 수 없는 결과를 가져오고, 그렇기 때문에 우리는 서로를 완벽히 정의할 수 없는 존재임을 이해한다는 것이다. 문제를 있는 그대로 받아들이고 나와 타인이 복잡한 존재라는 것을 인정할 때 역으로 우리는 단순한 해답을 얻게 되는 것이다. 이 교훈은 우리 모두에게 책임감을 부여한다. 직장에서의 역할 때문이든 사회적 위치 때문이든, 당신이 영향력 있는 사람이나 인기 있는 사람이라면 다른 사람들을 배제하지 않기 위해 물리적 위치를 어떻게 사용할 수 있을지 생각해 보라. 다른 사람들이 합류하지 못하도록 막는 폐쇄된 친구 그룹을 만들어서는 안 된다. 다른 사람들과 걸을 때 뒤를 돌아보고 누군가 따로 떨어져 혼자 걷고 있지는 않은지 확인하라. 가끔 강의실에서 모르는 사람 옆에 앉아 몇 마디 말을 건네보라. 우리의 상호작용 방식은 의도치 않게 집단적으로 우리 사이에 견고한 경계를 만들어낸다. 이 경계가 어디에 있는지 인식하고 이 경계를 허무는 것은 각 개인의 책임이다. -「사회 구조를 이해하는 새로운 렌즈」 위대한 수학자들은 자기 삶의 문제를 어떻게 풀어냈을까? 수학으로 깨달음을 얻었던 그들의 이야기 이 책에서는 실제로 네 가지 수학적 사고법을 통해 자기 삶의 문제를 해결했던 수학자들의 에피소드를 소개한다. 피식자-포식자 모델로 자연은 끊임없이 순환하며 서로 영향을 주고받는다는 역동성을 설명한 ‘알프레트 로트카’, 수학적 추론법으로 우주선 발사와 이착륙 프로그램의 오차를 획기적으로 줄여 아폴로 11호 임무 성공에 기여한 ’마거릿 해밀턴‘, 수학의 복잡도와 삶의 가치를 연결한, 현대 수학사에서 빼놓을 수 없는 천재 ‘안드레이 니콜라예비치 콜모고로프.’ 이들은 모두 수학을 도구로 복잡한 문제들을 명쾌하게 풀어냈다. 이들이 수학으로 풀고자 했던 문제는 일과 커리어, 우정과 사랑, 인간관계와 같이 우리가 일상에서 마주하는 고민들과 다르지 않다. 따라서 이 책을 통해 그들이 했던 것처럼 수학적 사고법을 우리 삶에 쉽게 적용해 볼 수 있다. ‘패턴이 형성되는 원리를 깨닫는 순간 세상이 우리에게 던진 농담의 의미를 알아차린다’ 세상의 원리를 이해하고 더 좋은 삶을 꾸려나가기 위한 수학 공부 이 책은 수학이 단순한 계산을 넘어 철학적 사유의 도구가 될 수 있음을 다양한 예시와 여러 수학자의 삶을 통해 보여준다. 특히 복잡한 수식이나 어려운 계산 없이도 수학적으로 사고하는 것이 어떤 의미인지 쉽게 설명한다는 점에서 데이비드 섬프터의 수학 커뮤니케이터로서의 뛰어난 능력이 돋보인다. 저자뿐만 아니라 이 책에 등장하는 수학자들은 수학을 통해 궁극적으로 불필요한 논쟁을 줄이고, 타인을 배려하고, 사랑하는 사람을 더 잘 이해하고, 나 자신이 누구인지 찾고자 했다. 이러한 이야기를 통해 그동안 딱딱하고 차갑게만 느껴졌던 수학이 사실은 세상을 세심하게 이해하는 따뜻한 학문임을 새롭게 보여준다.