AI 시대, 수학을 다시 만나는 가장 흥미로운 방법 공식이 아닌 사람의 이야기로 읽는 수학 우리는 오랫동안 수학을 문제와 정답의 학문으로 배워 왔다. 정해진 공식을 기억하고 그것을 문제에 적용해 계산하는 과목, 많은 이들에게 수학이 어렵고 낯설게 느껴지는 이유도 여기에 있다. 그러나 수학의 본모습은 계산이나 연산에만 머물지 않는다. 수학은 세상을 이해하려는 인간의 질문과 탐구에서 출발해 발전해 온 지적 탐험의 역사이기 때문이다. 고대에서 현대에 이르기까지 수많은 수학자들은 일상의 문제와 자연 현상 속에서 새로운 원리를 발견해 왔다. 그 과정에는 치열한 고민과 상상력, 그리고 세상을 더 깊이 이해하려는 사유가 담겨 있다. 수학은 바로 이러한 발견의 과정 속에서 만들어진 인간 지성의 산물이다. 이 책은 수학을 공식 중심의 학문이 아니라 사람의 이야기로 풀어낸다. 수학자들의 삶과 생각, 그리고 그들이 발견한 원리를 따라가다 보면 수학이 어떻게 만들어지고 발전해 왔는지를 자연스럽게 이해하게 된다. 특히 인공지능 기술이 빠르게 발전하는 오늘날, 수학적 사고는 단순한 교과 지식을 넘어 새로운 시대를 이해하는 핵심 도구가 되고 있다. 이 책은 AI 시대를 살아가는 독자들, 그리고 스스로를 ‘수포자’라고 여겨 왔던 이들에게 수학을 전혀 다른 시선으로 바라볼 수 있는 길을 제시한다.

추천사 ㆍ 4 머리말 ㆍ 16 프롤로그 ㆍ 24 수학 연대기 ㆍ 33 I부. 생각의 탄생: 보이지 않는 질서를 발견하다 1장. 그리스인 허생 _ 탈레스 2장. 피타고라스가 만들지 않았다고? _ 피타고라스 3장. 아킬레스와 거북이 _ 제논 4장. 기하학을 모르는 자는 들어오지 마라 _ 플라톤 5장. 공부하는 왕들 _ 유클리드 II부. 생각의 도약: 보이지 않는 값을 설계하다 6장. 역사상 최초의 스트리커 _ 아르키메데스 7장. 대수학의 아버지 _ 디오판토스 8장. 0의 역사 _ 알콰리즈미 9장. 토끼는 몇 마리? _ 피보나치 III부. 생각의 확장: 만물을 수학으로 번역하다 10장. 닭 도둑 잡는 마법사 _ 네이피어 11장. 망원경을 만든 사람 _ 갈릴레이 12장. 결혼도 수학적으로 _ 케플러 13장. 파리를 어떻게 잡지? _ 데카르트 IV부. 생각의 진화: 기계의 지능을 설계하다 14장. 거인의 어깨에 앉은 사람 _ 뉴턴 15장. 컴퓨터와 인공지능의 아버지 _ 튜링 부록 1. 생각의 기술 2. 타임머신 2026 ∞ 함께 읽기_ 저자의 권장 도서

I부. 생각의 탄생: 보이지 않는 질서를 발견하다
4장. 기하학을 모르는 자는 들어오지 마라 _ 플라톤

플라톤은 왜 손가락으로 하늘을 가리키고 있을까요? 이것은 그의 철학적 사상, 특히 이데아론Theory of Forms을 상징하는 중요한 제스처입니다. 플라톤은 사물의 배후에는 완전하고 변하지 않는 이데아가 존재하는 것으로 봅니다. 즉, 이 세계에 존재하는 모든 사물은 이데아의 모사에 불과하다고 주장합니다. 이 이데아는 물질 세계의 경험적 현실과는 별개의 차원에서 존재하며, 진정한 지식은 이데아를 인식하는 데서 나온다고 강조합니다. 플라톤이 손가락으로 하늘을 가리키는 것은 이데아가 물질적 세계 너머에 존재하는 형이상학적 세계에 있다는 것을 나타냅니다.
……
기하학에서 원은 ‘평면 위에서 한 점을 중심으로 두고, 중심으로부터 같은 거리에 있는 모든 점의 집합’으로 정의됩니다. 하지만 아주 미세하게 살펴본다면 정확한 원은 현실 세계에서 발견할 수 없습니다. 즉, 기하학에서 정의하는 원이데아은 현실 세계에는 없습니다. 밥그릇, 차바퀴, 어린이가 작도한 원 등은 모두 이데아를 흉내낸 것이라고 플라톤은 말하는 것입니다.
플라톤은 철학적 진리를 탐구하는 데 수학이 중요한 역할을 한다고 보았고 따라서 수학을 철학 교육의 기초로 가르쳤습니다. 왜냐하면 수학이 감각 경험에 의존하지 않고 순수한 이성적 사고를 통해 진리를 탐구할 수 있는 학문이라고 믿었기 때문입니다. 이러한 믿음을 직접적으로 보여 주는 것이 있습니다. 바로 플라톤의 아카데미아Academia*
입구에 새겨져 있었다고 전해지는 글귀입니다.
“기하학을 모르는 자는 이곳에 들어오지 마라.”


II부. 생각의 도약: 보이지 않는 값을 설계하다
8장. 0의 역사 _ 알콰리즈미

알콰리즈미는 9세기 이슬람 세계의 저명한 수학자이자 천문학자, 지리학자로, 그는 대수학과 아라비아 숫자 체계를 서양에 전파하는 데 중요한 역할을 하였습니다. 알콰리즈미의 정식 이름은 무함마드 이븐 무사 알콰리즈미로, 그는 780년경에 페르시아의 코라즘（현재의 우즈베키스탄)에서 태어났으며, 850년경에 바그다드에서 사망한 것으로 추정됩니다.
알콰리즈미는 인도에서 유래된 숫자 체계를 연구하여, 이를 아라비아 숫자 체계로 발전시키는 데 기여하였습니다. 그의 저서 《산수에 관한 책Kitab al-Jam wal-Tafriq》에서 이러한 인도-아라비아 숫자 체계와 0의 개념을 설명하며, 수를 다루는 방법을 체계적으로 정리하였습니다. 이 책은 후에 라틴어로 번역되어 유럽에 전해졌으며, 이로 인해 아라비아 숫자와 0의 개념이 유럽에 널리 퍼지게 되었습니다. 당시 유럽에서는 로마 숫자와 자릿값 체계를 사용하지 않는 방식에 머물러 있었는데, 0의 개념과 자리값 체계로 인해 계산이 크게 간편해지는 것을 이해하게 되었답니다.
알콰리즈미는 그의 또 다른 저서 《복원과 대비를 이용한 계산요약Al-Kitab al-Mukhtasar fi Hisab al-Jabr wal-Muqabala》을 통해 대수학을 독립적인 학문 분야로 체계화하였습니다. 이 책의 제목에서 ‘복원al-Jabr’이 대수학Algebra이라는 단어의 기원이 되었습니다. 이 책에서는 1차 및 2차 방정식을 푸는 다양한 방법이 소개되었으며, 특히 기하학적 해법을 통해 문제를 설명하는 방식이 사용되었습니다.


III부. 생각의 확장: 만물을 수학으로 번역하다
10장. 닭 도둑 잡는 마법사 _ 네이피어

16~17세기는 ‘대항해 시대’이자 천문학 혁명의 시대였습니다. 케플러Kepler나 티코 브라헤Tycho Brahe 같은 천문학자들은 행성의 궤도를 계산하기 위해 자릿수가 큰 정밀한 수치들을 서로 곱하고 나누는 지루하고 고통스러운 작업에 매달려야 했습니다. 항해사들 역시 별의 위치를 계산하다가 실수하여 난파당하기 일쑤였습니다. 네이피어는 이들을 위해 “곱셈을 덧셈으로 바꿀 수 없을까?”라는 근본적인 질문을 던졌습니다.
네이피어는 1594년부터 약 20년 동안 외부와 단절한 채 오로지 연구에만 몰두했습니다. 그는 특히 더하기의 세계（등차수열）와 곱하기의 세계（등비수열） 사이의 관계에 주목하였습니다.
여기서 우리 오랜만에 중고등학교 시절에 배웠던 수열의 종류를 복습해 볼까요? 등차수열이란 연속하는 두 항의 차이공차가 일정한 수열을 말합니다. 예를 들어 수열 1, 4, 7, 10, 13, …은 공차가 3인 등차수열로서 각 항에다가 공차를 더해 다음 항을 얻게 됩니다. 즉, 등차수열은 덧셈으로 증가하는 수열이라고 말할 수 있죠. 한편 등비수열은 연속하는 두 항의 비율공비이 일정한 수열을 말합니다. 예를 들어 1, 2, 4, 8, 16, 32, …은 공비가 2인 등비수열로서 각 항에다가 공비를 곱해 다음 항을 얻게 됩니다. 즉, 등비수열은 곱셈으로 증가하는 수열이라고 말할 수 있습니다.
네이피어는 등차수열과 등비수열 사이의 관계성을 이용해서 복잡한 등비수열의 곱셈（예: 4×8＝32）을 등차수열의 덧셈（예: 2＋3＝5）으로 환원할 수 있다는 원리를 발견하였습니다.
이 원리를 바탕으로 1614년, 마침내 그는 《놀라운 로그 법칙의 기술》을 출판했습니다. 이 책에는 90페이지에 달하는 방대한 로그표가 실려 있었습니다. 이 로그표는 천문학, 공학, 항해, 물리학 등에서 매우 큰 수들의 곱셈이나 나눗셈을 쉽게 계산할 수 있도록 도왔습니다. 특히, 케플러와 같은 천문학자들은 로그를 사용하여 행성 궤도 계산을 정확하고 효율적으로 할 수 있었습니다.


IV부. 생각의 진화: 기계의 지능을 설계하다
15장. 컴퓨터와 인공지능의 아버지 _ 튜링

튜링은 1950년에 발표한 논문 〈계산 기계와 지능Computing Machinery and Intelligence〉에서 “기계가 생각할 수 있는가?”라는 질문을 던지며 인공지능 연구의 기초를 세웠습니다. 튜링은 기계의 지능을 평가하기 위한 기준으로 튜링 테스트를 제안했습니다. 인간과 기계가 텍스트 대화를 나눌 때, 기계가 인간처럼 보이면 지능을 가진 것으로 간주합니다. 이 개념은 오늘날 인공지능 개발과 논의에서 여전히 중요한 기준으로 사용됩니다.
그 당시 기계가 인간처럼 생각하는가를 연구하는 과학자, 철학자들은 많았으나 주로 지능 자체를 정의하는 것부터 의견이 상충되면서 어느 누구도 제대로 기계의 지능을 정의하지 못하고 있었습니다. 그런데 튜링은 “기계가 생각할 수 있는가?”라는 철학적 질문을 구체적이고 실질적으로 다룰 방법을 제안했습니다. 그것이 바로 튜링 테스트Turing test이고 이것은 기계가 인간처럼 지능적으로 행동할 수 있는지를 판단하기 위한 실험입니다.
튜링 테스트는 [그림 15-3]에서처럼 질문자심사자, 인간, 그리고 기계지능적 소프트웨어 간의 대화로 구성됩니다. 질문자는 두 응답자인간과 기계에게 각각 질문을 합니다. 질문자는 두 응답자의 답변을 읽고, 누가 인간인지, 누가 기계인지 판단해야 합니다. 대화는 텍스트로 이루어지며, 기계와 인간 모두 질문자와 오직 키보드를 통한 채팅으로만 소통합니다. 질문자는 다양한 질문을 던지며, 상대방의 지능을 평가합니다. 질문자가 기계와 인간을 구별하지 못하거나, 기계를 인간으로 오인하면, 해당 기계는 튜링 테스트를 통과했다고 봅니다. 이때, 기계는 “지능을 가진 것처럼 행동한다”라고 간주됩니다.
튜링은 “기계가 생각할 수 있는가?”라는 추상적 질문을 피하고, 이를 검증 가능한 실험으로 전환했습니다. 즉, 그는 “기계가 인간처럼 행동할 수 있는가?”라는 구체적인 기준을 제시했습니다. 기계의 내부 작동 원리나 철학적 논쟁보다는, 외부에서 관찰 가능한 결과에 초점을 맞췄습니다. 튜링 테스트는 인공지능 연구의 초기 개념으로, 기계 지능을 평가하는 기준으로 활용되었습니다.
이 테스트는 인간의 사고 과정과 지능의 본질에 대한 연구를 촉진했습니다. 또한 기계가 인간처럼 지능적으로 행동하려면 인간 사고의 어떤 요소를 모방해야 하는지에 대한 연구가 발전했습니다. 오늘날의 인공지능은 자연어 처리, 기계 학습, 딥러닝 등을 활용하여 튜링 테스트와 유사한 실험에서 점점 더 성공적인 결과를 보여 주고 있습니다.

수학, 인간의 생각이 만든 가장 위대한 이야기AI 시대에 다시 읽는 수학자들의 발견과 사유 인공지능이 우리의 일상과 산업을 빠르게 바꾸고 있는 시대다. 이런 변화의 중심에는 늘 수학이 있다. 알고리즘, 데이터 분석, 기계 학습 같은 기술은 모두 수학적 원리 위에서 작동한다. 그럼에도 많은 사람에게 수학은 여전히 교과서 속에서 문제를 풀기 위해 공식을 외우고 계산하는 과목으로 남아 있다. 학교에서 그렇게 배워 왔기 때문이다. 이 책은 바로 그 지점에서 출발한다. 수학을 단순한 계산 기술이 아니라, 인간이 세상을 이해하기 위해 만들어 온 생각의 역사로 다시 바라보게 한다. 이 책은 수학의 역사를 ‘사람의 이야기’로 풀어낸다. 탈레스와 피타고라스, 유클리드에서 시작해 뉴턴과 튜링에 이르기까지, 위대한 수학자들이 어떤 질문을 던지고 어떤 생각의 전환을 통해 새로운 원리를 발견했는지를 따라간다. 특히 ‘생각의 탄생’, ‘생각의 도약’, ‘생각의 확장’, ‘생각의 진화’라는 네 단계의 흐름을 통해 수학이 어떻게 발전하며 인간의 사고 방식을 바꾸어 왔는지를 보여 준다. 수학은 세상 속에 숨어 있는 질서를 찾아내는 과정 고대 그리스의 철학자와 수학자들은 자연 현상 뒤에 일정한 규칙이 있다고 생각했다. 눈에 보이는 현상은 서로 달라도, 그 안에는 공통된 원리가 있을 것이라고 믿은 것이다. 그리고 그 원리를 가장 분명하게 설명할 수 있는 도구가 바로 수학이었다. 예를 들어 탈레스는 자연 속에서 반복되는 패턴을 발견하려 했고, 피타고라스학파는 음악과 우주, 자연의 조화가 ‘수’의 관계로 설명될 수 있다고 보았다. 그들에게 수학은 계산을 잘하기 위한 기술이 아니라, 세상의 질서를 이해하기 위한 사고의 방법이었다. 이러한 생각은 유클리드에 이르러 하나의 체계로 정리된다. 그는 기하학의 기본 원리와 증명 방식을 정리해 논리적인 학문 구조를 만들었다. 이를 통해 사람들은 감이나 경험이 아니라, 논리적인 추론을 통해 지식을 쌓을 수 있다는 사실을 확인하게 된다. 이때부터 수학은 자연을 설명하는 도구일 뿐 아니라, 논리적으로 생각하는 방법의 본보기로 자리 잡게 된다. 수학은 새로운 개념을 만들어 내며 발전해 온 학문 수학자들은 단지 기존의 규칙을 발견하는 데서 멈추지 않고, 세상을 더 잘 설명하기 위해 새로운 개념을 만들어 왔다. 이런 시도는 인간의 사고 범위를 크게 넓혀 주었다. 대수학의 발전이 대표적인 예다. 디오판토스는 숫자를 문자로 표현하며 계산하는 방법을 발전시켰고, 이후 이슬람 세계의 수학자들은 기호와 계산 규칙을 체계화해 오늘날 대수학의 기초를 마련했다. 이러한 변화 덕분에 수학은 단순한 산술을 넘어 복잡한 관계와 구조를 다루는 학문으로 발전할 수 있었다. 특히 ‘0’의 도입은 매우 중요한 전환점이었다. 아무것도 없음을 하나의 숫자로 표현하는 생각은 계산 체계를 완전히 바꾸어 놓았다. 여기에 피보나치가 전파한 아라비아 숫자 체계가 더해지면서 계산은 훨씬 효율적이고 정확해졌다. 이 변화는 상업 활동과 과학 연구, 기술 발전에까지 큰 영향을 주며 수학의 활용 범위를 넓혔다. 수학은 자연과 세계를 설명하는 언어로 발전 르네상스 이후 과학자들은 자연 현상을 단순히 관찰하는 데서 그치지 않고, 그 움직임을 수와 식으로 표현하려 했다. 자연을 이해하는 가장 정확한 방법이 수학적 설명이라고 생각했기 때문이다. 갈릴레이는 자연의 법칙이 “수학의 언어로 쓰여 있다”고 말하며 관측과 계산을 결합한 과학 연구 방법을 제시했다. 케플러는 행성의 움직임을 수학적 법칙으로 설명해 우주가 일정한 규칙에 따라 움직인다는 사실을 밝혀냈다. 데카르트는 좌표 개념을 도입해 기하학과 대수를 연결했다. 이를 통해 공간 속의 움직임을 숫자와 식으로 표현할 수 있게 되었고, 수학은 자연과 물리 현상을 설명하는 강력한 도구가 되었다. 이러한 변화는 이후 물리학과 공학, 기술 발전의 기초가 된다. 이러한 흐름은 결국 현대 과학기술로 이어진다. 뉴턴은 미적분과 수학적 모델을 통해 자연의 운동 법칙을 설명했고, 이러한 수학적 모델링 방식은 이후 과학과 공학의 핵심 방법이 되었다. 세상을 수식과 규칙으로 표현하고, 그 규칙을 이용해 미래를 예측하려는 사고 방식이 자리 잡은 것이다. 20세기에 들어 이러한 수학적 사고는 컴퓨터 과학으로 이어진다. 특히 튜링은 계산 과정을 수학적으로 설명하며 ‘기계가 계산할 수 있는 것’의 범위를 정의했다. 오늘날 컴퓨터 프로그램과 알고리즘의 기본 개념은 바로 이러한 연구에서 출발한다. 다시 말해, 컴퓨터가 문제를 해결하는 방식 자체가 수학적 사고를 기반으로 만들어진 것이다. 인공지능 역시 마찬가지다. 기계 학습이나 데이터 분석은 수많은 데이터를 바탕으로 패턴을 찾고 규칙을 만들어 내는 과정인데, 이 과정은 확률과 통계, 선형대수 같은 수학적 원리를 통해 이루어진다. 결국 AI가 학습하고 판단하는 과정 역시 ‘수학적 모델’을 바탕으로 작동한다. 이 책은 이러한 흐름을 따라가며 수학이 어떻게 인간의 생각을 확장시키고, 결국 오늘날의 컴퓨터와 인공지능 기술로까지 이어지게 되었는지를 보여 준다. 수학의 역사는 단순한 학문의 발전사가 아니라, 인간이 세상을 이해하는 방식을 끊임없이 넓혀 온 사고의 역사이기도 하다. 수학을 공식과 계산의 집합이 아니라 인간의 질문과 상상력이 만들어 낸 이야기로 풀어낸 이 책은, 수학을 어려워했던 독자들에게 새로운 출발점을 마련해 준다. AI 시대를 이해하는 데 필요한 것은 복잡한 계산 능력이 아니라, 세상 속에서 패턴과 구조를 발견하고 논리적으로 생각하는 힘이다. 이 책은 바로 그 ‘수학적 사고의 힘’을 흥미로운 이야기 속에서 자연스럽게 보여 준다.